重庆市开州中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知在平面直角坐标系Oxy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C的方程为
B. 曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10
C. 曲线C上存在点M，使得
D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9
6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知圆C：，直线l：.则以下几个命题正确的有（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为
10. 下列四个命题是真命题的是（ ）
A. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为
B. 已知，，点为轴上一动点，则的最大值是
C. 已知，，，过A作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为
D. 经过两条直线：和：的交点，且与直线平行的直线方程为
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点G到平面的距离为定值
B. 若，则的最小值为2
C. 若，且，则点G到直线的距离为
D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12. 已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是______.
13. 已知直线：，：，当时，直线与之间的距离是_________．
14. 现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 过点作直线分别交轴、轴正半轴于A，B两点.
（1）当面积最小时，求直线的方程；
（2）当取到最小值时，求直线的方程.
18. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点，别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA、PB、PD，得到如图2所示的五棱锥P—ABMND．
（1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你结论；
（2）当四棱锥P—MNDB体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
19. 已知圆经过三点．
（1）求圆的方程．
（2）已知直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．