浙江省绍兴市2024-2025学年高三上学期一模（11月选考科目诊断性考试）数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省绍兴市2024-2025学年高三上学期一模（11月选考科目诊断性考试）数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了已知，，则，已知向量，，则在上的投影向量是等内容，欢迎下载使用。
本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.若，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知，，则（ ）
A.B.5C.D.
4.已知向量，，则在上的投影向量是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（ ）
A.24B.18C.12D.6
6.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，过点作的垂线，垂足为，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数，且是的极小值点，则可以是（ ）
A.B.C.D.
8.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则的最小值是（ ）
A.16B.17C.18D.19
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的100块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：kg），并整理得下表：
则100块试验田的亩产量数据中（ ）
A.中位数低于180kgB.极差不高于60kg
C.不低于190kg的比例超过15%D.第75百分位数介于190kg至200kg之间
10.下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ）
A.与B.与
C.与D.与
11.在正三棱锥中，，，是底面内（含边界）一点，则下列说法正确的是（ ）
A.点到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值
B.顶点，，到直线的距离的平方和为定值
C.直线与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值
D.直线与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在二项式的展开式中，常数项为________.
13.若曲线在点处的切线与圆相切，则________.
14.已知数列中，等可能取，0或1，数列满足，，则的概率是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）记三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）设是的中线，若，，求.
16.（15分）已知函数.
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）若存在，当时，，求的取值范围.
17.（15分）在四棱锥中，底面为菱形，，，，.
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）已知椭圆的离心率为，短轴端点和长轴端点间的距离为.
（1）求的方程；
（2）过左焦点的直线交于，两点，点在上.
（i）若的重心为坐标原点，求直线的方程；
（ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围.
19.（17分）维向量是平面向量和空间向量的推广，对维向量（，），记，设集合为偶数.
（1）求，；
（2）（i）求中元素的个数；
（ii）记，求使得成立的最大正整数.
2024年11月绍兴市选考科目诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BC 10.ACD 11.ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.60 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）解：（1）因为，所以.
又因为，即，即.
又因为，所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
可得，解得，即.
在中，由余弦定理可知.解得.
16.（15分）解：（1）因为，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增.
因为，，，且，
所以的值域是.
（2）因为.
①若，当时，，所以在上递增，
所以，不符合题意.
②若，当时，：当时，，
所以在上递減，在上递增，
要存在，当，，则只需，所以.
17.（15分）解：（1）取中点，连接，，
因为，，所以是正三角形，
因为为中点，所以.
又因为，所以.
因为，所以，又，所以面.
所以，又因为为中点，所以.
解法1：（2）因为，，
所以是二面角的平面角，即.
在中，由余弦定理，解得.
如图，以点为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，.所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
解法2：（2）因为，，
所以是二面角的平面角，即.
在中，，解得，
所以，所以，且，
取中点，连接，，
在等腰直角三角形中，，同理，
所以，所以，又，
所以平面，所以即为直线与平面所成角，
又，而，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18.（17分）解：（1）由题意知，即，又，
解得，，.
所以的方程.
（2）（i）设直线的方程为，联立，
得，
设，，，则，.
因为的重心为原点，所以，
所以，又，
代入，可得，
解得，所以直线的方程是.
解法1：（ii）设，由（i）可知，，
代入，可得，
解得，所以.
所以，且，所以.
解法2：（ii）设，由（i）可知，，
代入，可得，
解得，
①当时，，令，
则在上递增，所以，
②当时，，令，
则在上递增，所以.
综上可知.
19.（17分）解：（1），.
（2）（i）设中元素的个数为，由于为偶数，，则，且.
故
即，
故中元素的个数为.
（ii）略亩产量
频数
5
10
25
40
15
5