青岛版数学九上第三章 《圆回顾与总结》 课件

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第3章  对圆的进一步认识回顾与总结青岛版数学九年级上册 1. 本章学习了哪些内容? 总结一下，与同学交流. 2. 圆是轴对称图形吗?利用圆的轴对称性，你探索并证明了什么定理?说出它的条件和结论. 3. 圆是中心对称图形吗? 为什么?学习目标 4. 圆心角与它所对的弧有什么关系?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦、弧之间有什么关系? 5. 确定一个圆的条件是什么? 经过任意三点能作一个圆吗? 6. 用反证法证明一个命题的一般步骤是什么?它与直接证明的方法有什么不同? 7. 什么是圆周角?圆周角与它所对弧上的圆心角有什么关系?圆周角定理有哪些推论? 8. 什么是三角形的外心?什么是三角形的内心?它们各有哪些性质? 9. 试述直线与圆的位置关系. 圆的半径r与圆心到直线的距离d的数量关系与这条直线与圆的位置关系之间有什么联系? 10.圆的切线有什么性质? 怎样判定一条直线是圆的切线? 11. 经过圆上一点可以作圆的几条切线?经过圆外一点呢?从圆外一点所作圆的切线具有什么性质? 12. 写出弧长公式和扇形面积公式，说明公式中各个字母的含义，在 S，n，r，1这四个量中，已知其中的几个量，就可以求出其余的量? 13. 正n边形的边长、半径与边心距之间具有怎样的关系?在研究它们之间的关系时是怎样转化为等腰三角形或直角三角形进行研究的? 14. 怎样用尺规过不在同一条直线上的三点作圆?怎样用尺规作三角形的外接圆、内切圆?怎样用尺规作圆的内接正方形和正六边形? 15. 在本章中，你认为体现了哪此基本的数学思想?分类思想 分类是自然科学和社会科学中广泛应用的重要思想和方法. 人们先对所研究的对象进行分析，再按照某些特征把它们划分为许多门类，分别加以研究，这就是分类的思想方法.广角镜 我国明代著名药学家李时珍在他的巨著《本草纲目》中，把收录的 1 892 种药物划分为16部，部以下再分类，总计60类，成为国际上一致推崇和引用的药典. 门捷列夫将当时已经发现的化学元素按族进行分类，并编制出元素周期表.利用元素周期表，不仅可以按照元素的族研究该族元素的共同性质，而且能根据表中的空格预测尚未发现的元素.锗的发现就是一个著名的实例. 在数学中也经常运用分类的思想. 例如，将实数进行分类，将三角形进行分类等等在解决数学问题时，如果面临的数学问题不能以统一的形式进行解决，可以把问题涉及的范围划分为若干种情况，在各种情况下分别研究问题的解，然后把各种情况加以归纳得到原问题的解. 在本章第 3.3 节中，研究了圆周角与它所对弧上的圆心角的关系.由于圆周角与圆心的相对位置有着不同的情况，各种情况下处理问题的方式并不相同，因而我们按照圆心在圆周角的一边上、在圆周角的内部、在圆周角的外部三种情况(图3-24) 分别进行研究，最后归纳出“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”的结论，这里就运用了分类的方法. 在第 3.2 节研究“确定圆的条件”、第 3.4 节研究“直线与圆的位置关系”以及解决一些具体问题的过程中，也都运用了分类思想. 运用分类思想时必须注意两个问题： 其一，要用一个统一的标准把研究对象进行划分；其二，划分时要做到既不重复，也不遗漏. 你能举出运用分类思想解决问题的实例吗? D复习与巩固 C2. 填空题： (1) 如图， ⊙O的直径为10，弦AB的长为8. 如果点P是弦AB上的一个动点，那么线段 OP的长度的取值范围是_____________.3≤OP≤5 (2) 如图，AB，AC是⊙O的弦. ∠ABO ＝ α ，∠ACO ＝ β ，∠BOC＝θ. α ， β ， θ三者间的数量关系是_________________.θ＝2(α＋β) 3. 如图，在直角坐标系中， ⊙M的圆心在x轴上， ⊙M与x轴的交点为A(－ 2，0)，B(6，0).求⊙M与y轴的交点 C，D的坐标. 4. 如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝AD，分别连接ACBD . 如果不再标注其他字母，不再添加辅助线，你能推出哪些结论 (至少写出5个) ? 5. 如图，在△ABC中，∠C ＝ 90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于点D，⊙O是△BDE的外接圆. (1) 求证：AC是⊙O的切线；(2) △BCE与△BED 相似吗? 如果不相似，说明理由； 如果相似，写出对应线段的比例式.6. 如图，⊙O内两条弦AB，CD相交于点E， 已知AE＝3 cm，EB＝8cm，CE＝ 4cm， 求CD的长.7. 证明： 圆的外切四边形的两组对边的和相等. 解：已知：如图所示，四边形 ABCD 是⊙O的外切四边形，CD，DA，AB，BC 是⊙O的切线，切点分别为点 E ，F，G，H. 8. 要从一块形状为直角三角形的铁片上剪出面积尽量大的半圆形的铁片，需要先在这块铁皮上作出半圆. (1) 如果半圆的圆心在较长的直角边上，且与另两条边都相切. 用直尺和圆规作出这个半圆； 解：当半圆的圆心在较长的直角边 BC 上，且与另两条边都相切时，这个半圆的圆心是∠BAC的平分线与 BC 的交点，其半径长是圆心与点 C 之间的距离，如图(1)所示. (2) 如果圆心在较短的直角边上，或者在斜边上，你会作出这个半圆吗? 解：当半圆的圆心在较短的直角边 AC 上时，半圆的圆心是∠ABC 的平分线与AC 的交点，其半径长是圆心与点 C之间的距离，如图(2)所示； 当半圆的圆心在斜边AB上时，半圆的圆心是∠ACB的平分线与AB的交点，其半径长是圆心到 AC(或BC)的距离，如图(3)所示. (3) 已知直角三角形三边长的比是3∶4∶5. 在上面作出的三个半圆中，哪个半圆的面积最大? 解：如图(1)所示，设圆心在 BC 上时半O1与AB 相切于点 D，连接 O1D. 设 AC＝3a，BC＝4a，AB＝5a(a＞0)，半圆O1，的半径为r，则 DO1＝O1C＝r1，BO1＝4a－r1. 9. 如图，两个同心圆的圆心为 O，正方形ABCD 的顶点都在大圆上，四条边都与小圆相切，大圆的半径 OA与 OB 分别与小圆交于点E与F，正方形的边长为a.求AB与EF的弧长之差，并求阴影部分的面积. 10. 两个圆的半径的比为 2∶1，求它们的外切正五边形的边心距的比、周长的比和面积的比.解：∵圆的外切正五边形的边心距等于该正五边形内切圆的半径， ∴ 它们的外切正五边形的边心距的比为两圆半径的比，即2∶1. ∴这两个正五边形相似， ∴它们周长的比等于半径的比，面积的比等于半径比的平方. ∴ 周长的比为 2∶1，面积的比为 4∶1.11. 如图，已知⊙O的弦 CD垂直于直径AB， 垂足是点E. 连接 CO并延长交AD于点F. 若AB＝2，求当 CF⊥AD时，CD的长.G解：如图，延长 CF 与⊙O交于点G.拓展与延伸G12. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC、AP⊥BC 垂足为点P. ⊙O过A，P两点，并分别交AB，AC于点 E，F. 分别按以下要求尽可能多地找出图中的有关 大小、位置和形状之间的关系，并证明你的结论. (1) 相等的角；(2)相等的线段； (3) 相等的弧；(4)垂直的直线； (5) 全等三角形；(6) 相似三角形.(1) 相等的角；∠BAP＝∠CAP＝∠B＝∠C＝45°.∠APB ＝∠APC＝∠BAC＝90°.(2)相等的线段；AP＝BP＝PC证明如下：由(1)得∠BAP＝∠CAP＝∠B＝∠C＝45°，∴ AP＝BP＝CP. (3) 相等的弧；(4)垂直的直线；BA⊥CA，AP⊥BC (已知)证明如下： ∵∠BAC＝90°， ∴ BA⊥CA.(5) 全等三角形；证明如下：∵AB＝AC，BP＝CP，AP＝AP，∴ △APB≌△APC (SSS).△APB ≌ △APC(6) 相似三角形.△APB∽△APC∽△BAC 13. 如图所示的曲边三角形可以按下面的方法作出：作一个正三角形，分别以正三角形的各个顶点为圆心、以边长为半径作弧，使弧经过另外两个顶点. 然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形. 已知正三角形的周长为 S，求曲边三角形的周长.14. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，OC交AB于点P， PC＝BC. 求证：BC是⊙O的切线.∵∠BPC＝∠APO，∴ ∠A＋∠BPC＝90°.∴ ∠OBA＋∠PBC＝90°， 即∠OBC＝90°.∴ OB⊥BC.∴ BC 是⊙O 的切线. 解：AC＝CD＝DB＝AE＝BF，OE＝OF，EC＝FD.探索与创新 16. 如图①，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，且∠CAE ＝ ∠B. (1) 求证：AE与⊙O相切于点A； (2) 如图②，若AB是⊙O的非直径的弦，且∠CAE＝∠B. AE与⊙O还相切于点A吗? 为什么? 解：AE 与⊙O还相切于点A. 如图，连接 AO 并延长交⊙O于点D，连接 DC.DD课程结束