2022年吉林省东北高三数学第二次摸底考试理会员独享

这是一份2022年吉林省东北高三数学第二次摸底考试理会员独享，共8页。试卷主要包含了在数列中，，则等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分:150分
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分；考试时间120分钟．
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．
3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．
4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“或是假命题”是“非为真命题”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（ ）
A．B． C．D．
6．若函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
－2
3
y
x
0
A．
B．
C．
D．
7．函数，若，则的所有可能值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的定义域分别为，且是的真子集．若对任意的，都有，则称为在上的一个“延拓函数”．已知函数，若为在上的一个“延拓函数”，且是偶函数，则函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
9．已知的内角的对边分别为，且三内角成等差数列 ，三边长成等比数列，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．非等边的等腰三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
10．在数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
y
x
O
3
—3
11．函数，已知其导函数 的部分图象如图所示，则 的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设函数，区间，集合,则使成立的实数对有（ ）
A．0对 B． 1对 C．2对 D．3对
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上）
13．直线与抛物线所围成图形的面积是 ．
14．已知一个等差数列的前9项的算术平均数为10，前10项的算术平均数为13，则此等差数列的公差为 ．
15．已知在上是增函数，则的取值范围是 ．
16．给出下列命题：
① 函数是偶函数；
② 若是第一象限的角，且，则；
③ 函数图象的一条对称轴方程为；
④ 在三角形中，的充要条件是；
⑤ 函数的一个对称中心为．
其中正确命题的序号是_______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
已知函数,是的导函数．
（Ⅰ） 求函数的最大值和相应的值；
（Ⅱ）若，求的值．
18．（本题满分12分）
已知数列满足：数列满足．
（Ⅰ） 若是等差数列，且求的值及的通项公式；
（Ⅱ） 若是等比数列，求的前项和．
19．（本题满分12分）
青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．
已知海湾内海浪的高度（米）是时间（，单位：小时）的函数，记作．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
经长期观测，的曲线可近似地看成是函数的图象．
（Ⅰ） 根据以上数据，求函数的最小正周期，振幅及函数表达式；
（Ⅱ）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内从上午8∶00至晚上20∶00之间，哪段时间可对冲浪爱好者开放？
20．（本题满分12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ） 若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析；
（Ⅱ） 对任意的，求函数的单调区间．
21．（本题满分12分）
数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列．
（Ⅰ） 求数列的通项公式；
（Ⅱ） 设数列的前项和为 ，且，求证:对任意正整数，总有 2；
（Ⅲ） 正数数列中，，求数列中的最大项．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ） 求在上的最小值；
（Ⅱ） 若存在（是常数，＝2．71828）使不等式成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ） 证明对一切都有成立．
参考答案
一、选择题 BADBCA BCAADD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题纸中的横线上）
（13） （14） 6 （15） （16） ① ④ ⑤
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（17）解：（Ⅰ）
， ……………2分
故
， ……………4分
其最大值为，此时． ………………6分
（Ⅱ） 若，则，
得，……8分
．……10分
（18）解：（Ⅰ）是等差数列，．--- 1分
又, ……………４分
解得， ……………５分
． ……………６分
（Ⅱ）是等比数列，，
则．…7分
数列是首项为，公比为的等比数列， ……………８分
当； ……………10分
当时，．
（19）解: （Ⅰ） 由表中数据，知周期，
由，得；
由，得，
∴，∴振幅为, …………６分
（Ⅱ）由题知，当时才可对冲浪者开放，
,
,
即, ．
∵,故可令①中的分别为0,1,2．
得．
∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，
即上午9∶00至下午3∶00． …………12分
（20）解:（Ⅰ）,由导数的几何意义得，于是，
由切点在直线上可得，解得,
所以函数的解析式为． …………６分
（Ⅱ），
当时，显然>0（x≠0）,这时单调递增区间为（，0）和（0，）；
当时，令=0，解得，
当变化时，，的变化情况如下表：
所以的递增区间为（,-）和（,），递减区间为（-,0）和（0, ）．
…………12分
（21）（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立
∴ （n ≥ 2）②
①--②得
∴
∵均为正数，∴ （n ≥ 2）
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时，， 解得=1
∴．（） …………4分
（Ⅱ）证明：，当时，
…………8分
（Ⅲ）解：由已知 ，
易得
猜想 时，是递减数列．
令
∵当
∴在内为单调递减函数．．
由．．
∴ 时, 是递减数列．即是递减数列，
又 , ∴数列中的最大项为． 。…………12分
（22）解：（Ⅰ）
…………4分
（Ⅱ）由题意知
，
而，故．． …………8分
（Ⅲ） 等价证明
由（Ⅰ）知
．。．．． 。…………12分
0
3
6
9
12
15
18
21
24
x
（,）
（,0）
（0, ）
（,）
+
0
-
-
0
+
极大值
极小值