第24章 解直角三角形 华东师大版大单元测试卷(含答案)

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第24章　解直角三角形时间:90分钟 满分:100分一、选择题(每小题3分,共30分）　　　 　　　　　　　　　　1.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,下列各式成立的是 (　　)A.sin B=ba B.tan B=ba C.tan B=ab D.cos B=ab2.如图,点A(2,t)在第一象限,OA与x轴所夹锐角为α,tan α=2,则t的值为 (　　)A.1　　 B.2　　 C.4　　 D.33.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∠A=20°,则∠BCD的度数是 (　　)A.40° B.50° C.60° D.70°4.如图,若tan 30°的值用一个点在数轴(不完整)上表示,则这个点可能落在 (　　)A.①段 B.②段 C.③段 D.④段5.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,AB边上的中线CD=172,则sin A为 (　　)A.817　　 B.217　　 C.1517　　　 D.8156.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC的值为 (　　)A.23 B.43 C.22 D.2237.如图,工人师傅将截面为矩形的木条锯成两部分,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,点C,B,G在同一直线上,CB=a,BG=b,∠AGB=β,则点E到CG的距离等于 (　　)A.acos β+bsin β B.acos β+btan β C.asin β+btan β D.bsin β+atan β8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,tan B=34,点D从点A出发沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动.过点D作DE∥AB交BC边于点E,过点E作EF⊥BC交AB边于点F,当四边形ADEF为菱形时,点D运动的时间为 (　　)A.32 s B.52 s C.127 s D.158 s9. 定义:在等腰三角形中,底边与腰的比值叫做顶角的正对,顶角A的正对记作sad A,即sad A=底边腰.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=4∠B,则cos B·sad A= (　　)A.1 B.32 C.32 D.3410.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图(1)所示,点A是栏杆转动的支点,点E是两段栏杆的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图(2)所示的位置,其示意图如图(3)所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2 m,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据: sin37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75) (　　)　 图(1)　　 　　图(2)　 　　图(3)A　 　 B　 C　 　 　D二、填空题(每小题3分,共18分)11.小明站在某商场内的自动扶梯上,当他沿着斜坡向上前进了13米时,他在铅垂方向升高了5米,则该自动扶梯所在的斜坡的坡i=　　. 12.已知△ABC中,∠C=90°,sin A=45,BC=20,则△ABC的周为　　　. 13.在△ABC中,∠A为锐角,(2sin A-1)2+22-cosB=0,若AB=10,则BC=　　　. 14.在△ABC中,tan B=34,BC边上的高AD=6,AC=35,则BC边的长等于　　　. 15.对于任意锐角α,β,有等式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.结合所学知识,利用上述公式可以求得sin 75°的值是　　　　　. (结果保留根号)16.如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302 km至B港,再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向上,则A,C两港之间的距离为　　　　km. 三、解答题(共52分)17.(每小题3分,共6分)计算:(1)3sin 30°·cos 60°-tan230°； (2)tan60°+2sin45°tan45°-cos 30°.18.(6分)如图,射线OA放置在3×5的正方形网格中,现请你在图中找出格点(即每个小正方形的顶点)B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形,且(1)使tan∠AOB的值为1; (2)使tan∠AOB的值为12.图(1)　　　　　　图(2)19.(8分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠C=45°,CD=2,BD=3.(1)求sin ∠CBD的值;(2)若AB=3,求AD的长.20.(10分)如图,从热气球C处测得两物体A,B的俯角分别为29.5°和45°.如果这时气球的高度CD为80米,且点A,D,B在同一直线上,求物体A,B之间的距离.(结果精确到1米.参考数据:sin 29.5°≈0.49,cos 29.5°≈0.87,tan 29.5°≈0.57)21.(10分)某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们确定了测量方案,并完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上,选取两个不同测点,测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,该小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如表(尚不完整).任务一:两次测量A,B之间的距离的平均值是　　　　m. 任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.(参考数据:sin 26.5°≈0.45,cos 26.5°≈0.89,tan 26.5°≈0.50,sin 33°≈0.54,cos 33°≈0.84,tan 33°≈0.65)任务三:该“综合与实践”小组在确定方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)22.(12分)在△ABC中,∠ABC=90°.(1)如图(1),分别过A,C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为点M,N,求证:△ABM∽△BCN;(2)如图(2),P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC=255,求tan C的值;(3)如图(3),D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC=35,ADAC=25,求tan∠CEB的值.图(1) 图(2) 图(3)参考答案与解析第24章　解直角三角形1.B　2.C3.D　在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,∴CD=12AB=AD,∴∠DCA=∠A=20°,∴∠BCD=90°-∠DCA=70°.4.A5.A　在Rt△ABC中,CD是AB边上的中线,∴AB=2CD=2×172=17,由勾股定理得BC=AB2-AC2=172-152=8,∴sin A=BCAB=817.6.C　如图,过点A作AD⊥BC于点D,由题意可知点D位于格点上,且AD=BD,∴∠ABC=45°,∴cos∠ABC=cos 45°=22.另解：如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD=BD=3,∴AB=AD2+BD2=32+32=32,∴cos∠ABC=BDAB=332=22.7.B　(转化思想)如图,过点E作EH⊥BA的延长线于点H.∵∠BAG+∠AGB=90°,∠BAG+∠HAE=90°,∴∠HAE=∠AGB=β.∵BG=b,tan β=ABb,∴AB=btan β.∵AE=AD=BC=a,∴cos β=AHa,∴AH=acosβ,∴HB=AH+AB=acos β+btan β.8.D　∵在Rt△ABC中,AB=5 cm,tan B=34,∴AC=3 cm,BC=4 cm.设点D运动t s后,四边形ADEF是菱形，∴DE=AD=tcm,CD=(3-t)cm.∵DE∥AB,∴∠ABC=∠DEC,∴sin∠DEC=sin∠ABC=DCDE=ACAB,即3-tt=35,解得t=158. 9.C　∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠BAC+∠B+∠C=180°且∠BAC=4∠B,∴6∠B=180°,解得∠B=30°,∴cos B=32.如图,过点A作AD⊥BC于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=3a.∵BC=2BD,∴BC=23a,∴sad∠BAC=BCAB=23a2a=3,∴cos B·sad∠BAC=32×3=32.10.A　如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,则∠AHE=∠EHG=∠HEF=90°.因为∠AEF=143°,所以∠AEH=∠AEF-∠HEF=53°,所以∠EAH=37°.在Rt△EAH中,EH=AE·sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(m),所以AB+EH=1.2+0.72=1.92(m).11.1∶2.4　设当自动扶梯向上前进13米时,水平方向前进了x米,根据勾股定理,得x2+52=132,解得x=12(负值已舍去),故该自动扶梯所在斜坡的坡度i=5∶12=1∶2.4.12.60　∵在△ABC中,∠C=90°,sin A=45=BCAB,BC=20,∴AB=25.由勾股定理得,AC=AB2-BC2=15,∴△ABC的周长为15+20+25=60.13.52　由题意得2sinA-1=0,22-cosB=0,解得sinA=22,cosB=22,∴∠A=∠B=45°,∴∠C=90°,∴sin A=BCAB=BC10,∴BC=10sin A=10×22=52.14.5或11 当AD在△ABC外部时,如图(1),则BD=ADtanB=634=8,CD=AC2-AD2=(35)2-62=3,∴BC=BD-CD=8-3=5.当AD在△ABC内部时,如图(2),则BD=ADtanB=634=8,CD=AC2-AD2=(35)2-62=3,∴BC=BD+CD=8+3=11.综上,BC边的长等于5或11.　图(1)　　　　　图(2)15.6+24　sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=6+24.16.(30+103)　根据题意,得∠CAB=65°-20°=45°,∠ACB=40°+20°=60°，AB=302.过点B作BE⊥AC于点E,则∠AEB=∠CEB=90°.在Rt△ABE中,∵∠EAB=45°,AB=302,∴AE=BE=22AB=30.在Rt△CBE中,∵∠ACB=60°,∴CE=33BE=103，∴AC=AE+CE=30+103,∴A,C两港之间的距离为(30+103)km.17.解：(1)原式=3×12×12-(33)2=34-13=512. (3分)(2)原式=3+2×221-32=3+2-32 =32+2. (3分)18.解：(1)如图(1)所示. (3分)(2)如图(2)所示. (6分)　图(1)　　　 图(2)19.思路导图：解：(1)如图,过点D作DE⊥BC于点E.在Rt△CED中,∵∠C=45°,CD=2,∴CE=DE=1. (2分)在Rt△BDE中,sin ∠CBD=DEBD=13. (4分)(2)如图,过点D作DF⊥AB于点F,则∠BFD=∠BED=∠ABC=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴BF=DE=1. (6分)∵BD=3,∴DF=32-12=22.∵AF=AB-BF=2,∴AD=(22)2+22=23. (8分)20.解：(“背靠背”型)由已知得，∠ECA=29.5°,∠FCB=45°,CD=80米，EF∥AB,CD⊥AB, (2分)∴∠A=∠ECA=29.5°,∠B=∠FCB=45°,∴BD=CD=80米. (4分)在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tan A=CDAD,∴AD=CDtanA≈800.57≈140(米), (6分)∴AB=AD+BD=140+80=220(米). (9分)答:物体A,B之间的距离约为220米. (10分)21.解：任务一:6 (2分)任务二:设EG=x m,在Rt△DEG中,∠DEG=90°,∠GDE=33°.∵tan 33°=EGDE,∴DE=xtan33° m. (4分)在Rt△CEG中,∠CEG=90°,∠GCE=26.5°.∵tan 26.5°=EGCE,∴CE=xtan26.5° m. (6分)又∵CD=CE-DE=AB=6 m,∴xtan26.5°-xtan33°=6,解得x≈13.∴GH=EG+EH=13+1.5=14.5 (m).答:旗杆GH的高度约为14.5 m. (8分)任务三:受天气条件影响,没有太阳光线.(答案不唯一,合理即可得分) (10分)22.解：(1)证明:∵∠M=∠ABC=90°,∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°,∴∠MAB=∠NBC.又∵∠M=∠N=90°,∴△ABM∽△BCN. (3分)(2)过点P作PM⊥AP,交AC于点M,过点M作MN⊥PC于点N,如图(1),则△PMN∽△APB,∴PNAB=PMAP=tan∠PAC=255. (5分)设PN=2t,则AB=5t,∵∠BAP=∠MPC,∠BAP=∠C,∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.易知△ABP∽△CBA,则ABBC=BPAB,∴AB2=BP·BC,即(5t)2=BP·(BP+4t),得BP=t(负值已舍去),∴BC=5t,∴tan C=ABBC=55. (8分)　　图(1) 图(2)(3)过点A作AH⊥EB于点H,过点C作CK⊥EB,交EB的延长线于点K,则△AHB∽△BKC,CK∥AH,如图(2).∵sin∠BAC=35,∴在Rt△ABC中,AB∶BC∶AC=4∶3∶5,∴BHCK=ABBC=43,HKEH=ACAD=52. (10分)∵AE=AB,AH⊥EB,∴EH=BH,∴EK=72BH,∴tan∠CEB=CKEK=CKBH·BHEK=314. (12分)课题测量旗杆的高度成员组长:×××　组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A,B与H在同一条水平直线上,A,B之间的距离可以直接测得,且点G,H,A,B,C,D都在同一竖直平面内,点C,D,E在同一条直线上,点E在GH上.测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数26.4°26.6°26.5°∠GDE的度数32.7°33.3°33°A,B之间的距离5.9 m6.1 m……