湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. a4-a3=aC. (a2)3=a6D. a6÷a3=a2
2.分式|x|-4x-4的值为0，则x的值是( )
A. 0B. -4C. 4D. -4或4
3.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 0.2B. 24C. 13D. 15
4.若(a+b)2=49，ab=12，则a2+b2的值为( )
A. 20B. 25C. 30D. 35
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B=30°，DE=2，则BC的长为( )
A. 2 3+2
B. 4 3
C. 4
D. 6
6.如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B(∠C=90°)绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村.若AC=5km，BC=12km，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为( )
A. 2kmB. 4kmC. 10kmD. 14km
7.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
8.若分式方程axx-3+33-x=2无解，则a的值是( )
A. 3或2B. 1C. 1或3D. 1或2
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
9.分解因式x2y-16y的结果为______．
10.生物学家发现一种病毒的长度约为0.00043mm，用科学记数法表示这个数为______mm．
11.若在实数范围内 1-a+5a2a+1有意义，则a的取值范围是______．
12.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=16，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=6，则AB的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算： 8+(-1)2024-3-27-(14)-1．
14.(本小题8分)
先化简再求值：2xx-2-x2-1x2-4x+4⋅2x-4x+1，其中x= 2+2．
15.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．
(1)求证：MA平分∠BMD；
(2)若AC//DM，AB=12，BM=18，求BC的长．
16.(本小题9分)
某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
(2)该中学决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
17.(本小题10分)
阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0，b>0时，∵( a- b)2=a-2 ab+b≥0，∴a+b≥2 ab，当且仅当a=b时取等号，
例如：当a>0时，求a+16a的最小值．
解：∵a>0，∴a+16a≥2 a⋅16a，又∵2 a⋅16a=8，∴a+16a≥8，当a=4时取等号．
∴a+16a的最小值为8．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x>0时，当且仅当x= 时，x+9x有最小值为 ．
(2)当m>0时，求m2-5m+24m的最小值．
(3)请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙(墙足够长)，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
18.(本小题10分)
已知，实数m，n，t满足m2+n2-12m-16n+100+|t-2|=0．

(1)求m，n，t的值；
(2)如图，在平面直角坐标系中，A，B都是x轴正半轴上的点，C，D都是y轴正半轴上的点(点D在C上面)，∠CBD=45°，∠BCD+∠DAO=180°．
①如图(1)，若点A与B重合，CD=n，求B点的坐标；
②如图(2)，若点A与B不重合，AD=m，BC=t，求△CBD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故此选项不符合题意；
B、a4与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、(a2)3=a6，故此选项符合题意；
D、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵分式|x|-4x-4的值为0，
∴|x|-4=0且x-4≠0，
解得x=-4．
故选：B．
根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解： 0.2= 15中含有分母，它不是最简二次根式，则A不符合题意；
24= 4× 6=2 6，则B不符合题意；
13中含有分母，它不是最简二次根式，则C不符合题意；
15符合最简二次根式的定义，则D符合题意；
故选：D．
被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式，据此进行判断即可．
本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵(a+b)2=49，即a2+2ab+b2=49，而ab=12，
∴a2+b2+24=49，
即a2+b2=49-24=25．
故选：B．
根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵DE垂直平分AB，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，
∴EC=ED=2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE=90°．
在△BDE中，
∵∠BDE=90°.∠B=30°．
∴BE=2DE=4．
∴BC=BE+EC=4+2=6，
故选：D．
利用线段的垂直平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论．
本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 52+122=13(km)，
∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为(5+12)-13=4(km)，
故选：B．
根据勾股定理求出AB的长即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、72+242=252，152+202≠242，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
8.【答案】D
【解析】解：axx-3+33-x=2，
方程两边同时乘x-3得：
ax-3=2(x-3)，
ax-3=2x-6，
ax-2x=3-6，
(a-2)x=-3，
∵分式方程无解，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴3(a-2)=-3，
解得：a=1，
∵分式方程axx-3+33-x=2无解，
∴a-2=0，
解得：a=2，
综上可知：a=2或1，
故选：D．
先把方程两边同时乘x-3得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可．
本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件．
9.【答案】y(x+4)(x-4)
【解析】解：x2y-16y=y(x2-16)
=y(x+4)(x-4)．
故答案为：y(x+4)(x-4)．
直接提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10.【答案】4.3×10-4
【解析】解：0.00043mm=4.3×10-4mm．
故答案为：4.3×10-4．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】a≤1且a≠-12
【解析】解：根据题意得：1-a≥0且2a+1≠0，
解得：a≤1且a≠-12．
故答案为：a≤1且a≠-12．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得1-a≥0且2a+1≠0，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．
12.【答案】12
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=16，
∴BC=16，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=6，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=16-6=10，
在Rt△CEF中，CF= CE2-EF2=8，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+8)2=x2+162，
解得x=12，则AB=12．
故答案为：12．
先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
13.【答案】解：原式=2 2+1+3-4
=2 2．
【解析】利用二次根式的性质，有理数的乘方法则，立方根的定义及负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14.【答案】解：2xx-2-x2-1x2-4x+4⋅2x-4x+1
=2xx-2-(x+1)(x-1)(x-2)2⋅2(x-2)x+1
=2xx-2-2(x-1)x-2
=2x-2x+2x-2
=2x-2，
当x= 2+2时，原式=2 2+2-2= 2．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】(1)证明：如图，连接AM，

在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，
∴AB=AD，
∵AB⊥BM，AD⊥DM，
∴MA平分∠BMD，
∴点A在∠BMD的平分线上；
(2)解：∵AC//DM，
∴∠CAM=∠AMD，
∴∠AMB=∠CAM，
∴CM=AC，
设BC=x，
∴CM=AC=18-x，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴122+x2=(18-x)2，
∴x=5．
∴BC=5．
【解析】(1)连接AM，证明Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，可得AB=AD，根据角平分线的性质即可解决问题；
(2)证明CM=AC，设BC=x，所以CM=AC=18-x，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt△ABC≌Rt△ADE．
16.【答案】解：(1)设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要(x+30)元，
依题意得：3000x=2×2400x+30，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=80(元)．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
(2)设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买(50-m)个A品牌足球，
依题意得：50×(1+8%)(50-m)+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【解析】(1)设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要(x+30)元，由题意：购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买(50-m)个A品牌足球，由题意：A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，列出不等式，一元一次不等式，解之取其中的最小值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17.【答案】3 6
【解析】解：(1)∵x>0，
∴x+9x≥2 x⋅9x，
又∵2 x⋅9x=6，
∴x+9x≥3，当且仅当x=3时取等号．
∴x+9x的最小值为6．
故答案为：3，6；
(2)m2-5m+24m=m-5+24m，
∵m>0，
∴m+24m≥2 m⋅24m，
又∵2 m⋅24m=4 6，
∴m+24m≥4 6，当且仅当m=2 6时取等号，
∴m+24m的最小值为4 6，
∴m-5+24m的最小值为4 6-5，
即m2-5m+24m的最小值为4 6-5；
(3)根据题意可得，垂直于墙的一边长为450x米，则篱笆的长为x+450x×2=(x+900x)米，
∵x>0，
∴x+900x≥2 x⋅900x，
又∵2 x⋅900x=60，
∴x+900x≥60，当且仅当x=30时取等号，
∴x+900x的最小值为60，
即需要用的篱笆最少是60米．
(1)根据例题中的公式计算即可；
(2)先化简，再运用公式计算即可；
(3)由题意得篱笆的长为x+450x×2=(x+900x)米，再根据例题中的公式计算即可．
本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵m2+n2-12m-16n+100+|t-2|=(m-6)2+(n-8)2+|t-2|=0．
∴m-6=0，n-8=0，t-2=0，
解得：m=6，n=8，t=2．
(2)①∵∠BCD+∠DAO=180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°，∠BCD=∠AOD+∠OBC，
∴∠OBC=∠ADO．
设∠OBC=∠ADO=x°，
∵∠ADO+∠DAO=90°，
∴2x°+45°=90°．
∴x=22.5．
∴∠OBC=∠ADO=22.5°．
如图，过点C作CH⊥AD于H，CH的反向延长线交y轴于点E．

∵∠CBD=45°，
∴∠ACH=∠CBD=45°．
∴AH=CH．
又由题意，∠EAH=∠DCH=67.5°，
∴∠AEH=∠CDH=22.5°．
∴△AEH≌△CDH(AAS)．
∴AE=CD=n=8．
又∠CAE=∠CEA=22.5°，
∴AC=EC．
又OC⊥AE，
∴AO=OE=12AE=4．
∴B(4,0)．
②如图，过D作DE⊥BC于E，并延长交x轴于点G．

∵∠CBD=45°，∠BED=90°，
∴∠BDE=∠CBD=45°．
∴BE=DE．
∵∠OBC+∠BCO=90°，∠OBC+∠BGE=90°，
∴∠BCO=∠BGE=∠DCE．
又∠BEG=∠DEC=90°，
∴△BEG≌△DEC(AAS)．
∴EG=EC．
∵∠BCD+∠DAO=180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°，∠BCD=∠AOD+∠OBC，
∴∠OBC=∠ADO．
∵∠OBC+∠BGE=90°，∠ADO+∠OAD=90°，
∴∠BGE=∠OAD．
∴AD=GD=m=6．
设DE=BE=x，
又BC=t=2，
∵GE=CE，
∴DG-DE=BE-BC．
∴6-x=x-2．
∴x=4，即DE=4．
∴S△BCD=12BC⋅DE=12×2×4=4．
【解析】(1)依据题意，由m2+n2-12m-16n+100+|t-2|=(m-6)2+(n-8)2+|t-2|=0，从而m-6=0，n-8=0，t-2=0，进而计算可以得解；
(2)①依据题意，由∠BCD+∠DAO=180°，∠DAO+∠AOD+∠ADO=180°，∠BCD=∠AOD+∠OBC，从而∠OBC=∠ADO，再设∠OBC=∠ADO=x°，可得∠OBC=∠ADO=22.5°，又过点C作CH⊥AD于H，CH的反向延长线交y轴于点E，∠CBD=45°，可得AH=CH，进而可得△AEH≌△CDH(AAS)，从而AE=CD=n=8，又∠CAE=∠CEA=22.5°，则AC=EC，最后可得AO=OE=12AE=4，进而可以得解．
②依据题意，过D作DE⊥BC于E，并延长交y轴于点G，又∠CBD=45°，∠BED=90°，从而∠BDE=∠CBD=45°，故BE=DE，再证得△BEG≌△DEC(AAS)，从而EG=EC.又∠OBC=∠ADO，结合∠OBC+∠BGE=90°，∠ADO+∠OAD=90°，可得∠BGE=∠OAD，故AD=GD=m=6，此时设DE=BE=x，又BC=t=2，借助DG-DE=BE-BC得方程6-x=x-2，求出DE=4，故可得S△BCD=12BC⋅DE计算得解．
本题主要考查了配方法的应用、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．