初中数学北师大版（2024）九年级上册1 投影第2课时学案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册1 投影第2课时学案，共9页。学案主要包含了旧知再现，新知初探，图表导思，质疑判断，完善解答，归纳提升，自主解答，一题多变等内容，欢迎下载使用。

【旧知再现】
投影现象：物体在__光线__的照射下，会在地面或其他平面上留下它的__影子__，这就是投影现象．__影子__所在的平面称为__投影面__．
【新知初探】
阅读教材P129—P130完成下面问题：
1．平行投影与正投影
(1)平行投影：太阳光线可以看成__平行光线__，像这样的光线所形成的投影．
(2)正投影：平行光线与投影面__垂直__的投影．
2．平行投影的规律
(1)在同一时刻，不同物体的影子的规律：同一时刻，不同物体的高度与影长成__正比__，即 eq \f(甲物高,甲影长) ＝__ eq \f(乙物高,乙影长) __，且影子的方向__相同__．
(2)在不同时刻，同一物体的影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的方向：西→__西北__→北→东北→__东__．物体影子的长度：长→__短____→__长__．
3．平行投影与中心投影的区别
(1)光：平行投影的光一般是__太阳____，其光线是__平行__的，中心投影的光是点光，其光线交汇于__点光__，是__发散__的(填“平行”或“发散”).
(2)同一时刻，阳光下所有物体的影子总是__同一__方向的，而灯光下的影子因光位置不同，影子的方向__也可能不同____．
【图表导思】
如图，AC，DF是太阳光线，BC，FE是物体AB，DF形成的影子．
1．AC与DF的关系是什么？
【解析】AC∥DF.
2．△ABC与△DEF的关系是什么？为什么？
【解析】△ABC∽△DEF，∵AC∥DF，∴∠DFE＝∠ACB，又∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF.
3．同一时刻，物体的影长与高度有什么关系？
【解析】同一时刻，物体的影长与高度成正比．
【质疑判断】
1．平行投影中，物体越高影子越长．( √ )
2. 太阳光线是平行的，中心投影的光线是不平行的．( √ )
3．平行投影与中心投影的区别是只有光不同．( × )
平行投影
【教材P131“做一做”拓展】——平行投影作图
如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝4 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．
(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8 m，请你计算DE的长．
【完善解答】(1)
连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段__EF__即为DE的投影．
(2)∵AC∥DF，∴__∠ACB＝∠DFE__．两直线平行同位角相等
∵∠ABC＝__∠DEF__＝90°，∴△ABC∽△DEF.
两角相等的两个三角形相似
∴AB∶__DE__＝BC∶__EF__，
相似三角形的性质
∵AB＝4 m，BC＝3 m，EF＝8 m，
∴4∶DE＝3∶8，等量代换
∴DE＝__ eq \f(32,3) __(m).求值
【归纳提升】
平行投影作图的思路：
eq \x(根据物体与它的影子) ⇨ eq \x(画出太阳光线) ⇨ eq \x(画出平行的另一条太阳光线) ⇨ eq \x(画出另一个物体的影子)
变式一：巩固 (2021·青岛质检)如图，水平方向的粗实线是旗杆在太阳光下的投影．
(1)画出此时标杆A在太阳光下的影子；
(2)如果不想看到标杆的影子，标杆应放在何处．
【解析】(1)如图，线段AB即为所求．
(2)应放在OC中．
变式二：提升 某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．
(1)在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；
(2)若AB＝6米，CD＝3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．
【解析】见全解全析
平行投影与相似
【教材P130“例2”拓展】——利用三角形相似计算影子的长度
李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.6 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上).已知李航的身高EF是1.6 m，请你帮李航求出楼高AB.
【自主解答】
过点D作DN⊥AB，垂足为N.交EF于M点，
∴四边形CDME，ACDN是矩形，
∴AN＝ME＝CD＝1.2 m，DN＝AC＝30 m，DM＝CE＝0.6 m，
∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4 m．依题意知，EF∥AB，
∴△DFM∽△DBN，∴ eq \f(DM,DN) ＝ eq \f(MF,BN) ，即 eq \f(0.6,30) ＝ eq \f(0.4,BN) ，
BN＝20，AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2米．
答：楼高为21.2米．
【归纳提升】
利用平行投影求物高的步骤
1．根据光线的平行特征构造相似三角形，方法有两种：
(1)截线．(2)延长，使图中出现矩形或直角三角形．
2．利用常用的关系式： eq \f(甲物高,甲影长) ＝ eq \f(乙物高,乙影长) ，列方程求解．
变式一：巩固
如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1∶ eq \r(2) ，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？(结果保留根号)
【解析】见全解全析
变式二：提升 (2021·平顶山期末)
小明测得树AB落在水平地面上的影长BC为2.4米，落在坡面上的影长CE为3.2米，身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，小芳帮他测得他的影长为2 m．已知坡面的铅直高度CH与水平距离DH的比为3∶4，试求树AB的高度．
【解析】见全解全析
【一题多变】
“影子落在墙上”问题
如图，小明同学想利用树影测出树高AB，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，他测得BC＝2.7米，CD＝1.2米．
试问你能帮他求出树高AB为多少米吗？
【解析】因为同一时刻物高与影长成正比，
所以 eq \f(标杆高度,标杆影长) ＝ eq \f(树影落在地上部分的树高,落在地上的影长) ，
即 eq \f(1,0.9) ＝ eq \f(树影落在地上部分的树高,2.7) ，
解得树影落在地上部分的树高＝3米，
所以树的高度为3＋1.2＝4.2米．
【母题变式】
“影子落在台阶上”问题
在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，求树的高度．
【解析】如图，∵ eq \f(DE,EH) ＝ eq \f(1,0.6) ，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18(米)，
∴AF＝AE＋EH＋HF＝4.42＋0.18＋0.2＝4.8(米).
∵ eq \f(AB,AF) ＝ eq \f(1,0.6) ，∴AB＝ eq \f(4.8,0.6) ＝8(米)，∴树的高度为8米．
难题拆解
(2021·重庆质检)某数学兴趣小组，利用树影量树高，如图(1)所示，已测出树AB的影长AC为12 m，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，求树与地面成45°时的影长．(用图(2)解答)
层层剖析——清障碍
拆解一：求出树高AB；
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，
∴AB＝ eq \f(\r(3),3) AC＝ eq \f(\r(3),3) ×12＝4 eq \r(3) (m)，
即树高为4 eq \r(3) m．
拆解二：在图(2)中标出AB的影长，并画出添加辅助线的图形．
【解析】AB的影长是AC.
水到渠成——破难题
【自主解答】在题干图(1)中，对于Rt△ABC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝ eq \f(\r(3),3) AC＝ eq \f(\r(3),3) ×12＝4 eq \r(3) (m)，
即树高为4 eq \r(3) m，
如图，作BH⊥AC于点H，
在Rt△ABH中，
∵∠BAH＝45°，
∴AH＝BH＝ eq \f(\r(2),2) AB＝ eq \f(\r(2),2) ×4 eq \r(3) ＝2 eq \r(6) ，
在Rt△BCH中，
∵∠BCH＝30°，
∴CH＝ eq \r(3) BH＝ eq \r(3) ×2 eq \r(6) ＝6 eq \r(2) ，
∴AC＝AH＋CH＝(2 eq \r(6) ＋6 eq \r(2) )m，
即树与地面成45°时的影长为(2 eq \r(6) ＋6 eq \r(2) )m.
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