上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份上海市进才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共7页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间90分钟，满分100分）
2024年11月5日
命题教师 毕仁伟 审题教师 姚红
一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上）
1.函数的定义域为集合，集合，则______.
2.已知指数函数的图像经过点，则该指数函数的解析式为______.
3.已知，化简______.
4.若，则，这是一个______命题.（填“真”或“假”）.
5.已知，则实数______.
6.若幂函数的图像关于轴对称，则实数______.
7.若关于的不等式对任意恒成立，则的最小值为______.
8.不等式与不等式解集相同，则______.
9.已知实数，满足，则的最小值为______.
10.，，若，则的取值范围为______.
11.若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则______.
12.设函数，集合，则下列命题正确的有______.
①当时，集合；
②当时，；
③当，则的取值范围是；
④若（其中），则.
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置。）
13.如图是幂函数的部分图像，已知分别取、4、、这四个值，则与曲线、、、相应的依次为（ ）
A.4、、、B.、、、4
C.、4、、D.4、、、
14.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
15.已知，则“对任意，都有”是“”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
16.已知、、是三角形的三边，对于代数式，有下列说法：
①有最小值，②有最大值3，则（ ）
A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
C.①为真命题，为②假命题D.①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共5题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置。）
17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第二小题满分4分）
已知函数（其中，且）.
（1）若，求的值.
（2）求关于的方程的解.
18.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）
（1）已知，求证：.
（2）证明：是无理数.
19.（本小题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）
随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：
.研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于20千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.
20.（本题满分13分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）当时，若存在，使得，求的取值范围；
（3）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.
21.（本题满分13分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分5分）
若函数对任意的均有，则称函数具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；
（2）全集为，函数，试证明具有性质；
（3）具有性质，且，求证：对任意，均有.
上海市进才中学2024学年第一学期期中考试
高一年级数学试卷参考答案
（时间90分钟，满分100分）
2024年11月5日
命题教师 毕仁伟 审题教师 姚红
一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分，请将正确答案直接填写在答题纸相应空格上）
1..2.3.4.真5.
6.27.48.9.10.
11.12.①④
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填涂在答题纸对应位置。）
13.A 14.C 15.A 16.C
三、解答题（本大题共5题，满分52分，解答要有详细的论证过程与运算步骤，请将解答过程写在答题纸对应位置。）
17.（1）解：.
则.
所以
（2）解：.
则.
所以.
所以
18.（1）证：，，.
左式.
右式.
所以左式右式.
（2）证：假设是有理数
则，其中为既约分数.
则.
则.
这与为偶数，为奇数相矛盾.
所以假设不成立，所以是无理数.
19.（1）解：当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于20千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）解：由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
又因为
所以
当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值为2450辆/小时，此时车流密度约为70辆/千米.
20.（1）解：不等式的解集为，
所以的解集为，
由，可得，求得，
故有，，
故.
（2）解：当时，，
存在，使得
存在，使得.
令
故的最小值.
，等号成立当且仅当
的最小值为18.
故使有解的实数的范围为.
（3）解：
则
则或
或.
①当时或，解集不为（舍）
②当时或，解集不为（舍）
③当时或，解集为
则，所以，解得
④当时或，解集不为（舍）
⑤当时或，解集不为（舍）
综上：的取值范围是
21.（1），
则，
因为，所以，且
所以，
所以，即函数①具有性质.
（2）当为有理数时，具有性质，理由如下：
，故具有性质；
当为无理数时，具有性质，理由如下：
，故具有性质；
综上：函数具有性质.
（3）证明：假设为，，…，中第一个大于0的值，则
，
因为具有性质，
所以，
所以，
所以与矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
所以对任意，均有