内蒙古自治区乌兰察布市察右中旗第二中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中试题

这是一份内蒙古自治区乌兰察布市察右中旗第二中学2024-2025学年 八年级上学期数学期中试题，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（ ）
A．勤洗手 勤通风B．打喷嚏 捂口鼻
C．有症状 早就医D．防控疫情 我们在一起
2．（本题3分）一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
3．（本题3分）在中，画出边上的高，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（本题3分）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）
A．360ºB．250ºC．180ºD．140º
5．（本题3分）P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是
A．OP1⊥OP2B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2
6．（本题3分）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（本题3分）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题3分）如图，在中，，D为BC中点，若由点D分别向AB、AC作垂线段DE、DF，则能说明的理由是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
9．（本题3分）如图，直线垂直平分的边，且与、分别交于点，，点为直线上任意一点，若，，则周长的最小值是（ ）
A．4B．6C．7D．10
10．（本题3分）如图，在中，，的外角平分线CD与内角平分线BE的延长线交于点D，过点D作交BC的延长线于点F，连接AD，点E为BD中点，下列结论：①；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
第II卷（非选择题）
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）已知点与点关于y轴对称，则点的坐标为 ．
12．（本题3分）如图，小明用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
13．（本题3分）如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝24°，∠CAD＝ ．
14．（本题3分）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ．
15．（本题3分）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，若，的周长为，则的周长为 ．

16．（本题3分）如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等．
三、解答题（共52分）
17．（本题8分）（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点）；
（2）直接写出，，三点的坐标．

18．（本题8分）如图，在中，，平分，．

(1)求的度数；
(2)若，垂足为，交于点，求的度数．
19．（本题7分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
20．（本题8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB，AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）当DE＝1时，求△ABC的面积．
21．（本题9分）如图所示，锐角三角形的两条高相交于点O，．
(1)判断点O是否在的平分线上，并说明理由；
(2)求证：．
22．（本题12分）如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，
（1）求证：BD=AE ， 并求出∠DOE的度数；
（2）判断△CFG的形状并说明理由；
（3）求证：OA+OC=OB；
（4）判断下列两个结论是否正确，若正确请说明理由：①OC平分∠FOG；②CO平分∠FCG．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】此题考查了三角形内角和定理．由题意知：把这个三角形的内角和平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．
【详解】解：因为，
，
，
所以这个三角形里最大的角是锐角，
所以另两个角也是锐角，
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，
所以这个三角形是锐角三角形．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点，向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，叫做三角形的高线，据此求解即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E，纵观各图形，选项A、B、D都不符合边上的高线的定义，选项C符合边上的高线的定义，
故选C．
4．B
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．
5．B
【详解】试题分析：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2．
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB．
∵∠AOB度数任意，∴OP1⊥OP2不一定成立．
故选B．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可
【详解】解：如图，延长至点，使，连接．
因为，，
所以．
所以，．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
所以．
故选B．
7．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，连接，根据等腰三角形的性质以及翻折变换的性质即可求解，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关定理来分析、判断．
【详解】连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵与关于对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．A
【分析】根据AAS证明△BDE≌△CDF即可．
【详解】解：∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵点D分别向AB、AC作垂线段DE、DF，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
9．C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值．
【详解】解：如图，连接，
直线垂直平分的边，
，
，
，当点F与点D重合时等号成立，
，
周长的最小值是7．
故选C．
10．B
【分析】在直角三角形中，由内角平分线和外角平分线可得，由此可证；根据三角形的三边关系可知错误；如图所示（见详解），过点作于，可证，，由此可知，．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵是的外角，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵点为中点，
∴，
在中，，三角形中，两边之和大于第三边，
∴，故②错误；
如图所示，过点作于，
∵，
∴，
点是中点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，为公共边，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
如图所示，过点作于，
由结论④可知，，，
∴，，，
在中，点是中点，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，正确的有①③④，共3个
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，内外角关系，三角形全等的判断，中线分两个三角形面积相等知识的综合应用，分析图形，根据条件找出三角形内角、外角的关系，直角三角形的全等，中线的性质是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，解二元一次方程组，根据关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数列方程组求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
故答案为：．
12．10
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故答案为10．
13．66°
【分析】如图，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥AC于点N，DG⊥BA于点G．由CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，可得DM＝DN＝DG，∠DBC＝，∠DBC＝．进而推断出Rt△ADG≌Rt△ADN（HL），故∠GAD＝∠NAD．那么，欲求∠CAD，需求∠BAC．根据三角形外角的性质，可得∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC＝，故∠BAC＝2∠BDC＝48°．即可求出∠CAD．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥AC于点N，DG⊥BA于点G．
∵CD平分∠ACE，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
∴DM＝DN，∠DCE＝．
∴∠DCE＝∠BDC+∠DBC＝．
∴∠BDC＝．
∵BD平分∠ABC，DM⊥BE于M，DG⊥BA于G，
∴DM＝DG，∠DBC＝．
∴DG＝DN，∠BDC＝﹣∠DBC＝．
∴∠BDC＝．
又∵∠BDC＝24°，
∴∠BAC＝48°．
∴∠CAG＝180°﹣∠BAC＝132°．
在Rt△ADG和Rt△ADN中，
∴Rt△ADG≌Rt△ADN（HL）．
∴∠GAD＝∠NAD．
∠DAN＝＝66°，即∠CAD＝66°．
故答案为：66°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义与性质、三角形外角的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的定义与性质、三角形外角的性质以及全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
14．9
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得：，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：9．
15．19
【分析】根据作图可知垂直平分，得到，，根据的周长为，进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，，
∴的周长，
∴的周长；
故答案为：19．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，以及中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段的两端点相等，是解题的关键．
16．4或8
【分析】当运动时间为秒或8秒时，根据定理推出和全等，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
①当时，
在和中，
，
∴，
∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，
∴
所以运动时间为秒；
②当时，
在和中，
，
∴，
∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，
∴，
所以运动时间为秒；
综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等．
故答案为：4或8
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．
17．（1）见解析；（2），，
【分析】（1）先画出点A、B、C关于轴对称的对应点、、，再依次连接即可；
（2）根据所画图形，即可解答．
【详解】解：（1）如图所示：即为所求；

（2）由图可知：，，三点的坐标分别为，，．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，写出点的坐标，解题的关键是掌握轴对称的作图方法．
18．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）解：，
设，
平分，
，
∵，
，
在中，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
19．证明见解析．
【分析】先画出图形（见解析），写出已知、求证，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证．
【详解】已知：如图，在和中，，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，且，
求证：．

证明：CM、FN分别是AB、DE边上的中线，
点M、N分别是AB、DE边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE=2CE．
（2）连接EB，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，求出∠EBC=30°，根据直角三角形的性质求出BE，根据勾股定理求出BC、AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）连接BE．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）连接BE．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴∠EBC=30°，
∴EB=2ED=2，EC=BE=1，BC==，
∴EA=EB=2，AC=EC+EA=3，
∴△ABC的面积=×BC×AC=××3=．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
21．(1)点O在的平分线上，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是解题的关键；
（1）证明，，利用角平分线的判定定理即可得证；
（2）由得；由易得，即是等腰三角形，从而易得结论．
【详解】（1）解：点O在的平分线上，理由如下：
由题得，
在和中，
，
所以，
所以；
因为，
所以点O在的平分线上；
（2）证明：由(1)得，
所以；
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
所以，
即；
因为，
所以．
22．（1）证明见解析，60°；（2）等边三角形，理由见解析；（3）见解析；（4）①正确，理由见解析；②不正确
【分析】（1）根据等边三角形的性质，再由SAS判定△BCD≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）由AAS证明△ACG≌△BCF，得出CG=CF，即可得到△CFG是等边三角形；
（3）过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，由全等三角形的对应角相等即可得到∠CDN=∠CEM，根据AAS证得△CDN≌△CEM；在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，根据全等三角形的性质可得出EM=DN，再由边与边之间的关系利用SSS即可证出△CMG≌△CNF，通过角的计算即可得出∠CPE=∠COD，再结合∠CDO=∠CEP利用AAS即可证出△COD≌△CPE，从而得出OD=PE，由边与边之间的关系即可找出BO=AO+OC即可；
（4）由△CDN≌△CEM，根据全等三角形的对应边相等即可得出CM=CN，结合角平分线的性质即可得出OC为∠BOE的角平分线，易得①成立．
【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE ，∠BDC=∠AEC，∠CBD=∠CAE，
∵∠DGO=∠CGE，
∴∠DOE=∠DCE=60°；
（2）∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCA=∠ACG=60°，
在△BCF与△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CG=CF，
∵∠FCG=60°，
∴△CFG是等边三角形；
（3）在AE上寻找点P，连接CP使得CP=CO，过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDN=∠CEM．
在△CDN和△CEM中，，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴EM=DN， CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，
∴∠BOC=∠EOC，
∵BD=AE，BF=AG，
∴MG=NF．
在△CMG和△CNF中，，
∴△CMG≌△CNF（SSS），
∴∠MCG=∠NCF，
∴∠MCN=∠GCF=60°，
∴∠MON=360°-∠MCN-90°-90°=120°．
∵∠BOC=∠EOC，
∴∠BOC=∠EOC=∠MON=60°，
∴∠COD=180°-∠BOC=120°．
∵CP=CO，∠COP=60°，
∴△COP为等边三角形，
∴∠CPO=60°，OP=OC，
∴∠CPE=180°-∠CPO=120°=∠COD．
在△COD和△CPE中，，
∴△COD≌△CPE（AAS），
∴OD=PE．
∴BO=BD-OD=AE-PE=AO+OP=AO+OC，
即AO+OC= BO；
（4）判断：①正确，②不正确，
过点C作CM⊥AE于点M，CN⊥BD于点N，如图所示．
∵△BCD≌△ACE，且CM、CN是对应边AE、BD边上的高，
∴CM=CN，
∴OC为∠BOE的角平分线，故结论①正确；
∵△BCD≌△ACE，而AC、DC不是对应边，
∴O到AC、DC的距离不一定相等，
∴CO不一定平分∠FCG，故结论②不正确．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
B
B
A
A
C
B