2022年高考数学二轮复习专题二数列与不等式-专项训练

这是一份2022年高考数学二轮复习专题二数列与不等式-专项训练，共13页。
1． 数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．
2． 数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．
【知识交汇】
1．等差数列与等比数列的综合
等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．
例1．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和．
例2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则=（ ）
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
解析：4，2，成等差数列，，即，
，，因此选C．
点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．
2．函数与不等式综合
不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
③在定义域内，求出函数的最值；
④正确写出答案．
x
2
2
y
O
-2
z=ax+by
3x-y-6=0
x-y+2=0
例３．设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D． 4
答案：A
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直
线ax+by= z（a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直
线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by
（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即
2a+3b=6, 而
=
，故选A．
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的
最小值常用乘积进而用基本不等式解答．
例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．
答案：70
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为 元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：作直线，即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取
得最大值．
联立解得．点的坐标为．
（元）．
点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．
例5．设为实数，函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集．
解析：（1）若，则；
（2）当时，，
当时，，
综上；
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0，得：；
讨论得：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．
3．函数与数列的综合
高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．
例6．知函数．
（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；
（Ⅱ）求函数在区间内的极值．
解析：(Ⅰ)证明： 因为所以，
由点在函数的图象上,
， 又，
所以，是的等差数列，
所以,又因为,所以,
故点也在函数的图象上．
(Ⅱ)解:,令得．
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值．
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归
等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．
4．数列与不等式、简易逻辑等的综合
数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．
例7．设若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，故选择B．
点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
例8．设数列满足为实数．
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：；
（Ⅲ）设，证明：．
解析： (1) 必要性： ，又 ，即．
充分性 ：设，对用数学归纳法证明，
当时，．假设，
则，且，
，由数学归纳法知对所有成立．
(2) 设 ，当时，，结论成立．
当 时，，
,由（1）知，所以 且 ，
，
，
．
(3) 设 ，当时，，结论成立，
当时，由（2）知，
，
．
点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．
５．数列与概率的综合
数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．
例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：
（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．
【思想方法】
【例1】已知等比数列的首项为，公比满足．又已知，，成等差数列． （1）求数列的通项．
（2）令，求证：对于任意，都有
解析：（1）∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
（2）证明：∵ ，
∴
．
【分析】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第（２）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式．
【例2】在数列中，，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
解析：（Ⅰ） ，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何都成立．
（Ⅱ）解：设， ①
②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
． ③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
【分析】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查．
D
F
B
y
x
A
O
E
【例3】设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点．
(Ⅰ)若 ,求k的值；
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值．
解析：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，．
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或．
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
．
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
，
当时，上式取等号．所以的最大值为．
【分析】方程与函数思想是数学中的重要思想，该题对于k的求解就是通过建立k的方程，然后解出的；而对于四边形的面积的求解，是通过构造面积关于k的函数关系，然后根据均值不等式来解决其最值问题．
【专题演练】
1．公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项, ,则等于 ( )
A． 18 B． 24 C． 60 D． 90
2． 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若，则的值为( )
A B C D
3．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则eq \f((a＋b)2,cd)的最小值是________．
5．设数列的前项和为，点均在函数的图象上．
则数列的通项公式为 ．
6．命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．
7．已知二次函数的二次项系数为 a ，且不等式 的解集为（1 , 3）．
（l）若方程有两个相等的根，求的解析式；
（2）若的最大值为正数，求 a 的取值范围．
8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【参考答案】
1．答案：C
解析：由得得,再由得:则,所以,故选C．
2．答案：A
解析： ∵；．
∴．
3． 答案：C
解析：依题意得或
所以或
解得：，故选C．
4．答案：4
解析：∵eq \f((a＋b)2,cd)＝eq \f((x＋y)2,xy)≥eq \f((2eq \r(xy))2,xy)＝4．
5．答案：
解析：由题意得，即．
当n≥2时， ;
当n=1时，×-2×1-1-6×1-5．
所以．
6．解析：设，
=
因为是的必要不充分条件，所以，且推不出
而，
所以，则或
即或．
7．解析：（1）因为的解集为（1，3），所以且．
因而 （1）
由方程得： （2）
因为方程（2）有两个相等的根．
所以，即．
解得：（舍去）或，
将代入（1）得的解析式为：，
（2），
有a < 0，可得的最大值为，
所以 > 0，且a < 0．
解得：，
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是．
8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，
由已知xa=360,得a=，所以y=225x+．
(II)
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘