2022年宁夏高考数学二轮复习圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题-专项训练

这是一份2022年宁夏高考数学二轮复习圆锥曲线中与焦点有关的一类最值问题-专项训练，共4页。
我们知道，圆锥曲线一章是高考考查的重要内容之一，而圆锥曲线中的最值问题更是无处不在。在很多教学参考书中，我们都会见到这样的类似问题：
已知椭圆C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，点A的坐标为(3,1)，试在椭圆上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+2|PF2|最小，并求出相应的最小值。（亦可把椭圆改为双曲线或抛物线，同样有类似的问题）
类似于这样的问题，初学者往往很难作答，即使在老师的讲解和点拨下也不易掌握。基础好的同学还可以理解，一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难以做对，还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例，给出这种问题的一般解题策略和具体处理方法。
关于|PA|+|PF2|最小值的问题，同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这样的问题：如图，已知A、B两点在直线L的同侧，试在L上求作一点P，使得|PA|+|PB|最小。（相对应的还有一个应用题：A、B两个小村庄，L是一条河，今要在河上架设一座大桥，使从A、B两村庄铺设到大桥的公路总长最短，应该如何选址？）
B
A
L
PO
B/
我们知道两点之间的连线中，线段最短，所以|PA|+|PB|≥|AB|
显然等号不成立，因为A、B在直线L的同侧，如果A、B两点
在L的异侧就好了，因为A、B若在L异侧，线段AB
就与L相交，交点即为所求作的P点。所以能不能在L
的另一侧找到一点B/，使得|PB/|总是等于|PB|呢？
求作点B（或者A）关于直线L的对称点B/即可。
B/
A
L
QO
B
QO
转化思想就是我们解决问题的基本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，问题就得以解决。
比如：请在L上再找一点Q，使得|QA|-|QB|最大？同样道理，
|QA|-|QB|总是小于|AB|，如能等于|AB|就行。我们还是转化，
异侧两点同侧化，当Q为AB/的延长线与L的交点Q/时，
|QA|-|QB|=|QA|-|QB/|≤|AB/|。（这里B关于L的对称点B/与
A的连线要与L相交才行，否则Q/点不存在）
我们总结得到：同侧和最小异侧化，异侧差最大同侧化。
根据以上分析，我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能将椭圆C内部（同侧）的两点A或者F2转化为一内一外呢？显然无法作出点A（或者F2）关于曲线(椭圆)的对称点（没听说过），使得|PA|总是等于|PA/|。
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
N
M
如图，|PA|+|PF2|总是大于|AF2|，但|PA|-|PF2|还是能够
等于|AF2|，作直线AF2，与椭圆交于M、N两点，
当P运动到图中的N点时，|PA|-|PF2|=|AF2|，
当P运动到图中的M点时，|PA|-|PF2|= -|AF2|
能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢？
所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略：回归定义。椭圆的第一定义是：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹。我们不能将点A（或点F2）转移到椭圆外，但我们可以将P到F2的距离转化为点P到另一焦点F1的距离。因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a-|PF1|，于是|PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2a
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
R
S
要求|PA|+|PF2|的最值，就等价于求|PA|-|PF1|的最值。
如图作直线AF1交椭圆于R、S两点，
则 -|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|
所以2a-|AF1|≤|PA|+|PF2|≤2a+|AF1|
将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。
那么对于(2)又如何解答呢？与(1)相比，就是在|PF2|前
多了个系数2，也只能是2（否则无解），我们可以用圆锥曲线的统一定义，将同侧（内部）问题转化为异侧问题来求解。
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
M
l
椭圆的第二定义是：平面内到一定点F2的距离与到一定直线l的距离之比为小于1的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点，定直线为此焦点相应的准线，小于1的常数就是椭圆的离心率e。
如图，PM⊥l于M，则，所以|PM|=|PF2|
本题中，椭圆的离心率e=，所以|PM|=2|PF2|
所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，于是我们将问题转化为从定点A到准线l的“折线段”PA与PM的长的和的问题，也就是说将同侧（内部）两点的距离和问题转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当A、P、M三点共线且垂直于直线l时，|PA|+|PM最小，即直接过A作准线l的垂直交椭圆于P点，则P即为所求作。
这种转化看来只适用于形如|PA|+|PF2|的最小值的问题。
以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法，即利用圆锥曲线的定义实现了问题的转化，即同异互化，回归定义。
本文开头的问题具体解答如下：
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
R
S
(1) 由已知椭圆方程得：a=4,b=2,所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0)
因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=8,所以|PF2|=8-|PF1|
所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8
过A、F1作直线RS交椭圆于R、S两点，
因为||PA|-|PF1||≤|AF1|=，
A
·
F2
F1
·
·
P
x
y
M
l
所以8-≤|PA|+|PF2|≤8+
当P为S点时，|PA|+|PF2|的最小值为8-
当P为R点时，|PA|+|PF2|的最大值为8+
(2)易求得椭圆的离心率为e=，右准线l方程为x=8
过P作l的垂线交l于M点，则|PM|=|PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|，
当A、P、M三点共线且垂直于l时，|PA|+|PM|最小，且最小值就是点A到直线l的距离。易求得A到直线的距离为5，所以|PA|+2|PF2|的最小值为5，此时点P的纵坐标为1，将y=1代入椭圆方程得x=,所以点P的坐标为(,1).
下面我们给出几个题目供同学们练习巩固：
1．已知两点A(4,1)和B(-1,11)，
（1）试在x轴上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。
（2）试在y轴上求一点Q，使得|PA|-|PB|最大。
2．已知A(3,1)，双曲线C的方程为，F1、F2是它的左右两个焦点，试在双曲线C上求一点P，(1)使得|PA|+|PF2|最小；(2)使得|PA|+|PF2|最小.
3．已知A(4,1)，F为抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|+|PF|最小值。