专题29 计数原理 随机变量及其分布列（五大题型 模拟精练 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）（原卷版）

这是一份专题29 计数原理 随机变量及其分布列（五大题型 模拟精练 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）（原卷版），共9页。试卷主要包含了武汉外校国庆节放7天假种，在的展开式中，常数项为等内容，欢迎下载使用。

目录：
01 两个计数原理
02 排列组合
03 二项式定理
04 随机变量及其分布列
05 不同类型分布列综合
01 两个计数原理
1．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（ ）
A．6B．12C．18D．24
2．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（ ）
A．B．C．21D．210
3．三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（ ）
A．18种B．21种C．24种D．36种
02 排列组合
4．用，，，，，这六个数字可以组成（ ）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数”
A．108B．C．D．
5．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲､乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种B．120种C．192种D．240种
6．将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ）
A．20种B．40种C．80种D．160种
7．甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（ ）
A．540B．720C．1080D．1170
9．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
03 二项式定理
10．在的展开式中，常数项为（ ）
A．B．4C．D．32
11．的展开式中的系数为（ ）
A．20B．C．28D．
12．已知，若，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
04 随机变量及其分布列
13．已知随机变量的分布列为
则（ ）
A．0.2B．1.2C．5D．6
14．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ）
A．B．1C．D．
15．已知随机变量的分布列如下表所示：
若，且，则（ ）
A．B．C．D．
16．已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
A．B．C．D．
05 不同类型分布列综合
17．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A．0.84B．0.7C．0.4D．0.3
18．已知X服从两点分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
19．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（ ）
A．B．C．D．
20．个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ；
21．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，若用随机变量表示任选4个球中红球的个数，则服从超几何分布，其参数为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
22．已知连续型随机变量与离散型随机变量满足，，若与的方差相同且，则（ ）.
A．B．C．D．
23．已知随机变量服从正态分布，若，则 .
24．设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
25．若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65B．160C．165D．210
2．（2024·浙江·三模）的展开式的常数项为（ ）
A．B．C．D．4
3．（2024·广东东莞·三模）若，则（ ）
A．10B．0C．D．130
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120B．160C．200D．260
5．（2025·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（ ）
A．20B．25C．30D．35
6．（2024·甘肃酒泉·三模）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A．0.93B．0.934C．0.94D．0.945
7．（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东广州·模拟预测）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述：
①；
②；
③
④前天甲午餐总费用的数学期望为.
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③
二、多选题
9．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·四川巴中·模拟预测）设离散型随机变量X的分布列如下表
若离散型随机变量Y满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·浙江·模拟预测）高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A．B．
C．D．
三、填空题
12．（2024·河南新乡·模拟预测）2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
13．（2023·河南·模拟预测）已知随机变量X的所有可能取值为1，2，3，其分布列为
若，则 .
14．（2023·山东泰安·模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ．
附：，，
四、解答题
15．（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵.
(1)若，求此时的信息熵;
(2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义.
（参考不等式:若，则）
16．（2024·北京朝阳·二模）科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；
(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小.（结论不要求证明）
17．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
18．（2024·江苏镇江·三模）在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
19．（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.现有如下定义：在维空间中，，两点的曼哈顿距离为
(1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；
(2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量的方差小于.
4
5
0.4
0.6
0
2
1
2
3
40
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
m
0.2
0.1
1
2
3

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A 地区
（单位：万辆）
29.4
39.7
54.3
49.4
56.2
65.4
61.1
68.2
70.2
71.9
77.1
89.2
B 地区
（单位：万辆）
7.8
8.8
8.1
8.3
9.2
10.0
9.7
9.9
10.4
9.4
8.9
10.1
月销量比
3.8
4.5
6.7
6.0
6.1
6.5
6.3
6.9
6.8
7.6
8.7
8.8
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学
9天
6天
12天
3天
张老师
6天
6天
6天
12天