中考数学二轮培优重点突破讲练专题09 三角形中的垂线段最短模型（2份，原卷版+教师版）

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【模型1】垂线段最短
如图，已知点P是直线外一点，过点P作，则PB是直线外一点P与直线上各点的连线中最短的线段。
【模型2】两条线段的和最小值问题
如图，已知点是内任意一点，点、是，上的动点，求的最小值，通常作
点关于的对称点，过点作于点，交于点。此时的值最小。
【例1】如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【例2】如图Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若动点P在边AB上移动，则线段CP的最小值是_______．
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=8cm，点D为线段AB上的一个动点，从点A出发沿线段AB向点B运动，速度为2cm/s．
(1)求AB，AC的长度；
(2)如图，连接CD，线段CD是否有最小值；若有最小值，请求出这个最小值及此时时间t的值；若没有最小值，请说明理由；
(3)若点E为线段AC的中点，连接DE，当△ADE为等腰三角形时，求时间t的值．
一、单选题
1．如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（ ）
A．PE＝6B．PE＞6C．PE≤6D．PE≥6
2．如图，从位置O到直线公路l有四条小道，其中路程最短的是（ ）
A．OAB．OBC．OCD．OD
3．如图，在Rt△ABC中，，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是的平分线，若P，Q分别是AD何AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（ ）
A．2.4B．4C．4.8D．5
4．如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）
A．从大变小B．从小变大C．从小变大再变小D．从大变小再变大
5．如图，中，，，，，平分，如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，BD⊥CD，垂足为D，∠ABD＝30°，∠A＝90°，且AD＝4，DC＝6，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．7.1B．6.5C．4.8D．3.2
二、填空题
7．如图，，，，为上一动点，则的最小值为______．
8．在△ABC中，，，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE=________．
9．如图，已知是的中线，点是边上一动点，若的面积为10，，则的最小值为_______
10．如图，菱形ABCD中，，，E是对角线AC上的任意一点，则的最小值为______．
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，BC＝3，点M为BC上一定点且BM＝1，在BC上有一动点Q，在BD上有一动点P，则PM+PQ的最小值为 _______．
12．如图，，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为，点P关于OB对称的点为，当点P在直线NM上运动时，的面积最小值为______．
三、解答题
13．如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．
(1)在直线上作点，使，连接；
(2)在的延长线上任取一点，连接；
(3)在，，中，最短的线段是______________，依据是______________．
14．如图，已知点P在∠AOC的边OA上，
(1)过点P画OA的垂线交OC于点B；
(2)画点P到OB的垂线段PM；
(3)测量P点到OB边的距离： cm；
(4)线段OP、PM和PB中，长度最短的线段是 ；理由是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AD、AC上的动点（点P不与A、D重合，点Q不与A、C重合），求PC＋PQ的最小值
16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA＝750米，CD＝600米，AD＝450米．
(1)问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
(2)求原来的路线BC的长．
17．如图所示，∠AED=80°，EF平分∠AED交AD于点F，∠1=40°
(1)写出判定EFBD的推理过程．
(2)当∠ADE=50°时，线段EA、EF、ED中最短的是哪段？并说出理由．
18．在中，，，是边上一点，，直线交于点．
(1)如图1，若，则______，______；
(2)如图2，在（1）的条件下，点在直线上运动，且满足，，连接，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
(3)如图3，若，点在直线上运动，且满足，，连接，请求出的最小值．
19．(1)如图1，在中，，D是边的中点，E、F分别是、边上的点．若B、E、F在一条直线上，且，探究与的数量之间有何等量关系，并证明你的结论．
(2)为了丰富学生的业余生活，增强学生的身体素质，某体育课上老师组织学生进行传球训练．如图2所示，体育老师在地面画了一块场地，已知米，米，D为的中点，测得的长为15米，受训练的两名同学E和F分别在和边上移动，老师站在C点位置给同学传球，先把球传给E同学，E同学再传给F同学，请求出所传球的运动路径最小值（即的最小值）．
20．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点．
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若AB＝13，BC＝10，AD＝12，连接EC、EF，直接写出EC+EF的最小值．