湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
得分______
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数，则在复平面对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.设直线的倾斜角为，则
A.B.C.D.
3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是
A.B.C.D.
4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面的宽度EF约为（参考数据：）
6.已知圆．与圆外切，则ab的最大值为
A.2B.C.D.3
7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为
A.B.C.D.
8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A，B使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是
A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2
B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18
D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15
10.下列四个命题中正确的是
A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为
B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或
C.定点到圆上的点的最大距离为
D.过定点且与圆相切的直线方程为或
11.在棱长为2的正方体中，点满足，则
A.当时，点到平面的距离为B.当时，点到平面的距离为
C.当时，存在点，使得D.当时，存在点，使得平面PCD
选择题答题卡
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.假设，且与相互独立，则______.
13.斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点为，则______．
14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角；
（2）若，点满足，且，求的面积.
16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若.
（1）求证：平面平面ABCD；
（2）求平面ABQ与平面BDQ所成夹角的余弦值.
17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.
（1）求的方程；
（2）A，B为双曲线右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点，求直线AB的斜率的取值范围.
18.（17分）已知是数列的前项和，若.
（1）求证：数列为等差数列.
（2）若，数列的前项和为.
（ⅰ）求取最大值时的值；
（ⅱ）若是偶数，且，求.
19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若圆是直线族的包络曲线，则m，n满足的关系式是什么？
（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.
（3）在（2）的条件下，过曲线上A，B两点作曲线的切线，其交点为.若且，B，C不共线，探究是否成立？请说明理由.
长沙市第一中学2024-2025学年度高二第一学期期中考试
数学参考答案
一、二、选择题
1.D【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.
2.A【解析】由直线，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选A.
3.B【解析】.故选B.
4.A【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.
5.D【解析】以为原点，OC为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设扡物线的标准方程为，
由题意可得，代入得，得，
故抛物线的标准方程为，
设，
则，则，
所以截面图中水面的宽度EF约为，故选D.
6.D【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，依题意，，
于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为3.故选D.
7.A【解析】由，
令，则由题意知.
8.C【解析】如图，由，得，则为梯形的两条底边，
作于点，由梯形的高为，得，
在Rt中，，则有，即，
在中，设，则，
，
即，解得，
在中，，同理，
又，所以，即，所以离心率.故选C.
9.ACD【解析】对于A，一个总体含有50个个体，
以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于B，数据1，2，m，6，7的平均数是，
这组数据的方差是，故B错误；
对于C，，第50百分位数为，故C正确；
对于D，依题意，，则，故D正确；故选ACD.
10.BD【解析】对于A，过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为错误；
对于B，直线PM，PN的斜率分别为，
依题意，或，即或，B正确；
对于C，圆的圆心，半径，定点到圆上的点的最大距离为C错误；
对于D，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，D正确；故选BD.
11.BD【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
，设平面的法向是为，
则令，得，
对于，当时，，
点到平面的距离A错误；
对于B，当时，，
点到平面的距离B正确；
对于C，当时，，
则，
当时，
显然，方程无实根，即BP与不垂直，C错误；
对于D，当时，，
则，
显然，即，由，得，
即当时，，而平面PCD，因此平面PCD，D正确．故选BD.
三、填空题
【解析】由，且与相互独立，得，
13.【解析】设直线AB的方程为，代入椭圆方程，
可得，由韦达定理可得，
则，则，则，
所以.
14.-6【解析】取得最小值，则公差或，
①当时，，所以，又，所以，
所以，故，
令，得，所以的最小值为.
②当，不合题意.
综上所述：的最小值为-6.
四、解答题
15.【解析】（1），
，
，
，
，
.…………………………………………………………………………………6分
（2）由，
，
，
.…………13分
16.【解析】（1）证明：中，，
所以，所以.
又平面平面QAD，
所以平面QAD.
又平面ABCD，所以平面平面ABCD.……………………………………………………5分
（2）取AD的中点，因为，所以，且，
因为，平面平面ABCD，平面平面，
所以平面ABCD．
在平面ABCD内作，以OD为轴，OQ为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，
设平面ABQ的法向量为，由，
得令，得，
所以平面ABQ的一个法向量.
设平西BDQ的法向量为，
由，
得令，得，
所以平面BDQ的一个法向量.
所以，
所以平面ABQ与平面BDQ所成夹角的余弦值为.………………………………………………15分
17.【解析】（1）由题得推出，
所以双曲线的方程为.……………………………………………………………………4分
（2）由题意可知直线AB斜率存在且，
设，设AB的中点为.
由消去并整理得，
则，即，
，
于是点为.
由中垂线知，所以，解得：.
所以由A，B在双曲线的右支上可得：
，且，
且或，
所以，即，
综上可得，．…………………………………………………………………………15分
18.【解析】（1）因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即①，
所以②，由②-①可得，
即，所以，
所以，所以数列为等差数列.………………………………………………………7分
（2）（Ⅰ）由题意知在等差数列中，，故.
可得，
当时，取最大值.………………………………………………………………………………12分
（Ⅱ）
.………………………………………………………………17分
19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，即.……………………………………………………4分
（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，4）无解.
将整理成关于的一元二次方程：.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
B
A
D
D
A
C
ACD
BD
BD