雅礼教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份雅礼教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，此次亚运会在规模、项目、覆盖面、商业价值等方面都创造了多个“历史之最”．以下运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握，“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”．
【详解】解：A．是轴对称图形，故A正确；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，故D错误．
故选：A．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，故此选项错误，不符合题意；
B. ，故此选项错误，不符合题意；
C. ，故此选项错误，不符合题意；
D. ，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
3. 如图，已知，能直接用“”判定的条件是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定方法，全等三角形的判定定理有“，，，”，直角三角形还有特殊的判定方法“”．
【详解】解：根据全等三角形的判定方法来解决，可以发现选项A不能判定； 选项B是“”； 选项C是“”； 选项D是“”；
故选：B．
4. 如图，为等边三角形，．若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
【详解】解：∵等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：D．
5. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A. B.

C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力．
6. 若，则m、n的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，．
故选：B．
7. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（ ）
A. 第（1）道题B. 第（2）道题C. 第（3）道题D. 第（4）道题
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平方差公式，牢记平方差公式是解题的关键．
【详解】解：（1）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确；
（2）不符合平方差公式的形式，题目错误；
（3）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确；
（4），符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确．
综上分析可知，错的是第（2）道题，故B正确．
故选：B．
8. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故选：D．
9. 如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 三条中线的交点B. 三边的垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行判断即可．
【详解】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：C．
10. 如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误．
【详解】解：如图1，连接，作于，于，

∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求；
如图2，当时，

∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式： ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式法因式分解，是解题关键．
12. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱于D，若米，则________米．
【答案】16
【解析】
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得为中点，即可得出答案．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∴米．
故答案为：16．
13. 若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据非负数的性质求出的值，再讨论a为腰长和底边长，结合构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为，
∵，
∴此时不能构成三角形，
当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，正确求出的值是解题的关键．
14. 已知，，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算．根据同底数幂除法的逆运算，将转化为，然后将，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
15. 如图，等边的三个顶点都在坐标轴上，，过点B作，交x轴于点D，则点D的坐标为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得的长，继而求得的长，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为．
故答案为：．
16. 如图所示，在等腰中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是________．

【答案】 或
【解析】
【分析】过D作，，易证，，再根据角度关系即可得到答案．
【详解】解：连接AD，
∵，，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为： 或，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根定义，零指数幂运算法则，绝对值的意义．
【详解】解：

．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．
【详解】解：
，
将，代入得：．
19. 已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为．

（1）直接写出的面积 ；
（2）已知与关于y轴对称，请在坐标系中画出；
（3）点与点关于x轴对称，求值．
【答案】（1）6 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据网格得出的底和高，利用三角形面积公式求解；
（2）在坐标系中找出三个顶点关于y轴的对应点，顺次连接即可；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标相等，纵坐标互为相反数”求出a和b的值，再代入求解即可．掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图可知，，
故答案：6；
【小问2详解】
解：如图；
【小问3详解】
解：∵点与点关于x轴对称，
，，
．
20. 如图，已知和，．，，与交于点P，点C在上．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可证明；
（2）根据三角形外角的性质求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出结果即可．
【小问1详解】
证明：，
，
即，
在AC和中，
，
，
【小问2详解】
解：，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
21. 小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为
（1）直接写出a、b的值： ， ．
（2）这道除法计算的正确结果是 ；
（3）若，，计算（2）中代数式的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法和除法以、因式分级以及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是关键．
（1）按题意将除法运算改成乘法，计算，将乘积与对应系数相等，即可求出答案；
（2）根据多项式除以单项式法则计算即可；
（3）先将提公因式，再将，代入即可．
【小问1详解】
解：由题意，，
∴，
解得，，
故答案为：；
【小问2详解】
由题意，得
，
故答案为：；
【小问3详解】
∴原式．
22. 如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可求得，根据等腰三角形的性质可求得，结合角平分线的定义和三角形内角和定理，即可求得答案．
（2）根据角平分线的性质和有一个角为的直角三角形的特性，即可求得答案．
【小问1详解】
∵垂直平分，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴ ．
【小问2详解】
∵平分，，，
∴．
在中，， ，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定及性质，牢记垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质是解题的关键．
23. 在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
【答案】（1）；（2）①；②这个长方形的面积为．
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算．
（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①根据完全平方公式计算出的值即可；
②令，，则，，根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为，
因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成，
由此可得：．
故答案为：；
（2）①由可得：，
将，代入
得：，
解得：；
②令，，则，，
整体代入可得：
，
∴，
故这个长方形的面积为．
24. 我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．
（1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）；
与；与；与
（2）多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
（3）关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值．
【答案】（1）；
（2）它们的“对消值”为；
（3）代数式的最小值是．
【解析】
【分析】此题考查了求代数式值的能力，
()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别；
()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解；
()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解．
【小问1详解】
∵，
,
，
∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”，
故答案为：；
【小问2详解】
，，
∵与互为“对消多项式”，
，，
，，
∴它们的“对消值”为；
【小问3详解】
，，
，
∵与互为“对消多项式”且“对消值”为，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∴代数式的最小值是．
25. 已知点是平面直角坐标系中一点，且．点是平面内一动点，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．
（1）直接写出点A的坐标：A ；
（2）如图1，当点B位于x轴正半轴上时，求证：
（3）如图2，点B在第二象限内运动，，，轴于点H，点G是的中点．现在给出两个结论：①为定值；②的大小为定值，其中有且只有一个是正确的，请找出正确的结论并加以证明．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）结论②正确，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由得到，根据非负数的性质得到，即可得到点A的坐标；
（2）过点C作于点M，过点A作于点N交y轴于点P，则，证明，则，设证明，则是的垂直平分线，即可得到结论；
（3）延长至点D使得连，连接并延长交的延长线于点E．证明，则，，再证，则，得到是等腰三角形，由得到，即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标是；
故答案为：
【小问2详解】
如图1，过点C作于点M，过点A作于点N交y轴于点P，则，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
∴是的垂直平分线，
；
【小问3详解】
结论②正确.
如图2，延长至点D使得连，连接并延长交的延长线于点E．
在和中，
，
，
，，
，
，
在四边形中，，
，
又：，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴是等腰三角形，
，
，
，
∴结论②正确
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、坐标与图形、非负数的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质并数形结合是解题的关键．用平方差公式分解下列各式：
（1） （2）
（3）（4）