2021-2022学年江西省赣州市经开区八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年江西省赣州市经开区八年级下学期期末数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤1且x≠﹣1B．x≤1且x≠0C．x＜1且x≠﹣1D．﹣1＜x≤1
2．（3分）已知一次函数y＝kx+b不经过第一象限，那么k，b的符号分别是（ ）
A．k＞0，b＜0B．k＜0，b＜0C．k＞0，b≤0D．k＜0，b≤0
3．（3分）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．4cmD．5cm
4．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．（3分）某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表：
由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、中位数D．中位数、方差
6．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．6D．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
8．（3分）甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.4．你认为成绩更稳定的是 ．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 ．
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是 ．
11．（3分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，BC＝16，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
14．（6分）如图，在长方形OABC中，OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于点M，它在数轴上表示的实数是a．
（1）求a的值；
（2）先化简，再求值：，其中a为（1）中所求的实数．
15．（6分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）
16．（6分）如图，A（0，4），B（0，2），AC∥x轴，与直线交于点C，CD⊥x轴于点D，P是折线AC﹣CD上一点．设过点B，P的直线为l．
（1）点C的坐标为 ；若l所在的函数随x的增大而减小，则PD的取值范围是 ；
（2）当l∥OC时，求l的解析式；
17．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，E为CD上一点，将矩形沿BE翻折，A'，D'分别为A，D的对应点，A'B与CD相交于点P，请你用无刻度的直尺按以下要求作图
（1）在图1中作∠BPE的平分线；
（2）在图2中过点E作A'B的垂线，垂足为点F．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高．
19．（8分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：
b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）；
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．
20．（8分）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3、＝4等等．
（1）猜想：＝ ，并验证你的猜想；
（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？
（3）证明你找到的规律；
（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，已知直线EF交x轴于点E（18，0），交y轴于点F，∠FEO＝30°，C，D为EF上两点，且两点的横坐标分别为12和6，DA⊥y轴于点A，CB⊥y轴于点B，CQ⊥x轴于点Q．
（1）求直线EF的解析式，以及点A和点B的坐标．
（2）P为直线CD上一动点，连接PQ，OP，并求出当△OPD的周长最小时，点P的坐标及此时△OPQ的周长．
（3）点N从点Q（12，0）出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿B﹣C﹣D﹣A的路径绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连接MO和MN，试探究当t为何值时，MO＝MN．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤1且x≠﹣1B．x≤1且x≠0C．x＜1且x≠﹣1D．﹣1＜x≤1
【解答】解：由题意可知：，
解得：x≤1且x≠﹣1，
故选：A．
2．（3分）已知一次函数y＝kx+b不经过第一象限，那么k，b的符号分别是（ ）
A．k＞0，b＜0B．k＜0，b＜0C．k＞0，b≤0D．k＜0，b≤0
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b不经过第一象限，
∴k＜0，b≤0，
故选：D．
3．（3分）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．4cmD．5cm
【解答】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，
∴BC2＝8，AC2＝17，
∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴AB2＝8+17＝25，
∴AB＝5cm，
故选：D．
4．（3分）下列说法中错误的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【解答】解：两条对角线相等的平行四边形是矩形，而两条对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形的对角线相等，故选项A错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项B正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项C错误；
四条边都相等的四边形是菱形，故选项D正确；
故选：A．
5．（3分）某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表：
由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、中位数D．中位数、方差
【解答】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而12岁的有5人，13岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是13岁，因此中位数是13岁，不会受14岁，15岁人数的影响；
因为13岁有23人，而12岁的有5人，14岁、15岁共有22人，因此众数是13岁；
故选：B．
6．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．6D．8
【解答】解：设直线移到过点B时与AD交于点E，
由图象得：AE＝4﹣3＝1，ED﹣7﹣4＝3，BE＝，
由勾股定理得：AB＝2，AD＝AE+ED＝4，
∴矩形ABCD的面积为：2×4＝8，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 2 ．
【解答】解：根据题意得：3a﹣1＝a+3，
解得：a＝2．
故答案为：2．
8．（3分）甲、乙、丙、丁四人参加滑雪比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩相同，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.4．你认为成绩更稳定的是 乙 ．
【解答】解：∵s甲2＝0.2，s乙2＝0.15，s丙2＝0.25，s丁2＝0.4，
∴方差最小的为乙，
∴成绩更稳定的是乙．
故答案为：乙．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 36 ．
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝132＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝AB•BC+AC•CD
＝×4×3+×5×12
＝36，
故答案为：36．
10．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是 x＞3 ．
【解答】解：一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），
根据图象可知，不等式kx+b＜2的解集是x＞3，
故答案为：x＞3．
11．（3分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为 24 ．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
∴x2+7x＝12，
∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．
故答案为：24．
12．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，D点的纵坐标为6，BC＝16，CD＝10，顶点A在y轴上，边BC在x轴上，设点P是边BC上（不与点B、C重合）的一个动点，则当△ABP为等腰三角形时点P的坐标是 （﹣，0）或（8，0）或（2，0） ．
【解答】解：∵D点的纵坐标为6，CD＝10，
∴OB＝＝8，
如图，当AP＝BP时，BP＝AP＝OB﹣OP＝8﹣OP，
由勾股定理得，OP2+OA2＝AP2，即（8﹣OP）2＝62+OP2，
解得，OP＝，
则点P的坐标为（﹣，0），
当AB＝AP＝10时，此时BO＝PO，
此时P点的坐标为（8，0）
∵C的坐标是（8，0），与P点重合，不合题意，舍去；
当AB＝BP＝10时，此时点P的坐标为（2，0）、（﹣18，0）（此时点P不在BC上，舍去），
当△ABP为等腰三角形时点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）．
故答案为：（﹣，0）或（2，0）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）；
（2）（﹣）2+（+）（﹣）．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+1+﹣1
＝﹣；
（2）原式＝3﹣2+2+3﹣2
＝6﹣2．
14．（6分）如图，在长方形OABC中，OA＝2，AB＝1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于点M，它在数轴上表示的实数是a．
（1）求a的值；
（2）先化简，再求值：，其中a为（1）中所求的实数．
【解答】解：（1）∵在长方形OABC中，OA＝2，AB＝1，∠OAB＝90°，
∴OB＝＝＝，
∵以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于点M，
∴OM＝，
即a＝；
（2）÷（1+）
＝÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝
＝
＝．
15．（6分）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即点C到AB的距离，
在△ABC中，∵AC＝24，CB＝18，AB＝30，
∴AC2+CB2＝242+182＝900，AB2＝302＝900，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ACB＝90°，
∵S△ABC＝AC•BC＝CE•AB，
∴AC•BC＝CE•AB，即24×18＝CE×30，
∴CE＝14.4≈14，
答：点C到AB的距离约为14cm．
16．（6分）如图，A（0，4），B（0，2），AC∥x轴，与直线交于点C，CD⊥x轴于点D，P是折线AC﹣CD上一点．设过点B，P的直线为l．
（1）点C的坐标为 （6，4） ；若l所在的函数随x的增大而减小，则PD的取值范围是 0≤PD＜2 ；
（2）当l∥OC时，求l的解析式；
【解答】解：（1）∵A（0，4），AC∥x轴，
∴C的纵坐标为4．
∵点C在直线y＝x上，
∴x＝4，解得x＝6，
∴C（6，4）；
∵l所在的函数随x的增大而减小，而点B的坐标为（0，2），
∴PD的取值范围是0≤PD＜2．
故答案为：（6，4）；0≤PD＜2；
（2）∵l∥OC，点B为线段OA的中点，
∴点P为线段AC的中点，即P（3，4）．
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（0，2），P（3，4）代入y＝kx+b，
得解得
∴l的解析式为y＝x+2．
17．（6分）如图，四边形ABCD为矩形，E为CD上一点，将矩形沿BE翻折，A'，D'分别为A，D的对应点，A'B与CD相交于点P，请你用无刻度的直尺按以下要求作图
（1）在图1中作∠BPE的平分线；
（2）在图2中过点E作A'B的垂线，垂足为点F．
【解答】解：（1）如图1中，射线PM即为所求．
（2）如图2中，直线EF即为所求．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）若∠B＝60°，BC＝8，求菱形ADCE的高．
【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝DA，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，CD＝BC＝8，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
又∵CD＝BC＝8，
在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝8×＝4．
19．（8分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：
b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 173 （结果取整数）；
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 2.9 倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为s12，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为s22，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．
【解答】解：（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为≈173（千克），
故答案为：173；
（2）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的≈2.9（倍），
故答案为：2.9；
（3）由小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图知，第1个10天的分出量最分散、第3个10天分出量最为集中，
∴s12＞s22＞s32．
20．（8分）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3、＝4等等．
（1）猜想：＝ 5 ，并验证你的猜想；
（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？
（3）证明你找到的规律；
（4）请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．
【解答】解：（1），
；
（2）＝n；
（3）证明：＝＝；
（4）．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
50﹣20＝30，
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，
由题意得：，
解得，
∵a为正整数，
∴a＝14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案；
（3）设销售A、B两种商品共获利y元，
由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）＝（15﹣m）a+600，
①当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大，
∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品，
②当m＝15时，15﹣m＝0，
y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，
③当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小，
∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品．
22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°；
（3）解：AP＝CE；理由如下：
在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，
在△ABP和△CBP中，，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PC，
∴∠DAP＝∠AEP，
∴∠DCP＝∠AEP
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图，已知直线EF交x轴于点E（18，0），交y轴于点F，∠FEO＝30°，C，D为EF上两点，且两点的横坐标分别为12和6，DA⊥y轴于点A，CB⊥y轴于点B，CQ⊥x轴于点Q．
（1）求直线EF的解析式，以及点A和点B的坐标．
（2）P为直线CD上一动点，连接PQ，OP，并求出当△OPD的周长最小时，点P的坐标及此时△OPQ的周长．
（3）点N从点Q（12，0）出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从点B开始沿B﹣C﹣D﹣A的路径绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒2个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连接MO和MN，试探究当t为何值时，MO＝MN．
【解答】解：（1）在Rt△EOF中，
∵OE＝18，∠OEF＝30°，
∴OF＝OE•tan30°＝6，
∴F（0，6），
设直线EF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴；
∵D（6，4），C（12，2），
∴．
（2）作点Q关于直线CD的对称点Q′，易知Q′（15，3），连接OQ′交CD于P，此时△OPQ的周长最小．
∵直线OQ′的解析式为y＝x，
由，
解得，
∴；
∴OP+PQ＝OQ′＝6
周长最小值是12+6．
（3）观察图象可知，只有点M在BC上时，存在OM＝MN，如图：作MH⊥ON于H．
∵OM＝MN，MH⊥ON，
∴OH＝HN＝BM＝2t，
∴4t+t＝12，
∴t＝．
∴t＝时，OM＝MN．年龄/岁
12
13
14
15
人数
5
23
■
■
时段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
年龄/岁
12
13
14
15
人数
5
23
■
■
时段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250