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2023-2024学年广东省广州市南沙区八年级下学期期末数学试题及答案
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这是一份2023-2024学年广东省广州市南沙区八年级下学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝110°，则∠B 的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．90°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2） 在函数y＝2x﹣7的图象上，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法判断
6．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BDB．AB＝BC
C．AC⊥BDD．AC平分∠BAD
7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a2＝（c+b）（c﹣b）D．∠A＝∠B
8．（3分）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（ ）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是0.1km/min
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD中点，连接OE．若AB的长为6，△DOE的周长为10，则△BCD的周长是（ ）
A．8B．12C．16D．20
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（ ）
A．B．C．32D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为 ，，则玉米苗长得更整齐的试验田是 ．
13．（3分）若直线y＝﹣2x+b与x轴的交点为（2，0），则关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，点E是BC的中点，∠EAB＝35°，则∠CAD的度数为 ．
15．（3分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50° 方向航行，那么慢船沿 方向航行．
16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（3，0），点D，E分别是线段BO，BC上的动点，且BD＝CE，则BC的长为 ；当AD+AE的值取最小值时，点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，求BD的长．
19．（6分）如图，E、F为▱ABCD的对角线AC上的两点，请你添加一个条件，使得BE＝DF．
（1）你添加的条件是 ．
（2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：BE＝DF．
20．（6分）小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为x天，还剩下y页书没看．
（1）求y与x的函数关系．
（2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看．
21．（8分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 ．
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数．
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
22．（10分）已知一次函数 y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限．
（1）求m的取值范围．
（2）当m＝1时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的情况下，当﹣3＜x≤1时，根据图象求出y的取值范围．
23．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简； ＝ ． ＝ ．
（2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长．
（3）当a＞b＞0时，化简：．
24．（12分）如图1，矩形ABCD的一边AD在x轴上，点C的坐标为（﹣2，4），点A的坐标为（4，0）．
（1）求证：四边形OABE为正方形；
（2）如图2，若点F为AB中点，连接OC，OF，直线AC交OF于点G，交y轴于点H．
①求△OCG 的面积．
②点M在x轴的正半轴上，平面内是否存在点N，使以点A，H M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据众数的概念求得这组数据的众数即可．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据出现次数最多的数是5，即众数是5，
故选：C．
3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝110°，则∠B 的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．90°
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝110°，
∴∠B＝∠D＝55°，
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则判断即可．
【解答】解：A．+≠，故本选项不符合题意；
B．3﹣＝2，故本选项不符合题意；
C．+≠3，故本选项不符合题意；
D．×＝3，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2） 在函数y＝2x﹣7的图象上，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法判断
【分析】根据所给函数解析式，得出y随x的变化情况，据此可解决问题．
【解答】解：因为函数解析式为y＝2x﹣7，
所以y随x的增大而增大，
又因为﹣1＜2，
所以y1＜y2．
故选：A．
6．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BDB．AB＝BC
C．AC⊥BDD．AC平分∠BAD
【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a2＝（c+b）（c﹣b）D．∠A＝∠B
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝12+22＝5，c2＝32＝9，
∴a2+b2≠c2，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2＝（c+b）（c﹣b），
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C符合题意；
D、∵∠A＝∠B，
∴a＝b，
∴能判定△ABC为等腰三角形，不能判定△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（ ）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是0.1km/min
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
【分析】由函数图象分别得出选项的结论，然后作出判断即可．
【解答】解：由图象知，
A、小丽家到便利店距离是0.5千米＝500米，故A选项不符合题意；
B、小丽在便利店停留了10﹣5＝5（分钟），故B选项不符合题意；
C、小丽步行的速度是＝0.1（km/min），故C选项不符合题意；
D、小丽骑自行车的速度是＝0.2（km/min），
＝2，
小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故D选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD中点，连接OE．若AB的长为6，△DOE的周长为10，则△BCD的周长是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，再证明OE是△ABD的中位线，得OE＝AB＝3，然后求出DE+OD＝7，则BC+BD＝14，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，
∵E是边AD中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴DE＝ADOE＝AB＝3，
∵△DOE的周长为10，
∴OE+DE+OD＝10，
∴DE+OD＝10﹣3＝7，
即AD+BD＝2（DE+OD）＝2×7＝14，
∴BC+BD＝14，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝14+6＝20，
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（ ）
A．B．C．32D．2
【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，则BE＝＝8，求得CE＝BC﹣BE＝2，因为AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，则EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝（6﹣CF）2，求得CF＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，
∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，
∴BE＝＝＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∵AF⊥DE于点G，交CD于F，
∴AF垂直平分DE，
∴EF＝DF＝6﹣CF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+CF2＝（6﹣CF）2，
解得CF＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥3 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为 ，，则玉米苗长得更整齐的试验田是 甲 ．
【分析】根据方差越小，长势越整齐进行求解即可．
【解答】解：∵，，
∴S2甲＜S2乙，
∴玉米苗长得更整齐的是甲，
故答案为：甲．
13．（3分）若直线y＝﹣2x+b与x轴的交点为（2，0），则关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为 x
＝2 ．
【分析】将（2，0）代入直线函数解析式，求出b，再解关于x的方程即可解决问题．
【解答】解：将（2，0）代入y＝﹣2x+b得，
b＝4，
则解方程﹣2x+4＝0得，
x＝2，
所以关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为x＝2．
故答案为：x＝2．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，点E是BC的中点，∠EAB＝35°，则∠CAD的度数为 35° ．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质，求出∠B＝55°，可得结论．
【解答】解：∵∠∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝EB＝EC，
∴∠B＝∠EAB＝35°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝55°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35°
15．（3分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50° 方向航行，那么慢船沿 南偏西40° 方向航行．
【分析】根据三角形的三边长，可知AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，从而得出答案．
【解答】解：由题意知，AC＝24海里，BC＝10海里，AB＝26海里，
∵AC2+BC2＝400，AB2＝400，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵甲船沿北偏西50°方向航行，
∴乙船以南偏东40°方向航行．
故答案为：南偏西40°．
16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（3，0），点D，E分别是线段BO，BC上的动点，且BD＝CE，则BC的长为 5 ；当AD+AE的值取最小值时，点D的坐标为 （0，） ．
【分析】依据题意，由一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，从而令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣3，故可得A（﹣3，0），B（0，4），又C为（3，0），从而可得BC＝＝5；又作CF⊥x轴于C，使得CF＝AB，连接EF，先证明△ABD≌△FCE，进而可得AD＝FE，故AD+AE＝AE+EF≥AF，则当E在AF上时，AD+AE最小，然后先求出直线AF为y＝x+，再求出BC，进而可得E的坐标，最后求出CE＝BD，结合D在y轴上可得坐标．
【解答】解：由题意，∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣3．
∴A（﹣3，0），B（0，4）．
又C为（3，0），
∴OB＝4，OC＝3．
∴BC＝＝5．
如图，作CF⊥x轴于C，使得CF＝AB，连接EF，
∴BO∥FC．
∴∠FCE＝∠CBD．
∵A（﹣3，0），C（3，0），
∴OA＝OC．
又OB⊥AC，
∴AB＝BC＝CF＝5，∠ABD＝∠CBD＝∠FCE．
在△ABD和△FCE中，
，
∴△ABD≌△FCE（SAS）．
∴AD＝FE．
∴AD+AE＝AE+EF≥AF．
∴当E在AF上时，AD+AE最小．
∵F（3，5），A（﹣3，0），
∴直线AF为y＝x+．
又∵直线BC为y＝﹣x+4，
∴联列方程组．
∴E（，）．
∴CE＝BD＝．
∴D的纵坐标为：4﹣＝．
∴D（0，）．
故答案为：5；（0，）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程
17．（4分）计算：．
【分析】根据乘法的分配律以及合并同类二次根式进行计算即可．
【解答】解：原式＝2+3﹣3
＝3﹣．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，求BD的长．
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再由题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
19．（6分）如图，E、F为▱ABCD的对角线AC上的两点，请你添加一个条件，使得BE＝DF．
（1）你添加的条件是 AE＝CF（答案不唯一） ．
（2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：BE＝DF．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF，再证明△ABE≌△CDF（SAS），即可得出结论．
【解答】（1）解：添加条件：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
20．（6分）小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为x天，还剩下y页书没看．
（1）求y与x的函数关系．
（2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看．
【分析】（1）根据题意列函数关系式；
（2）代入数据求值．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式：y＝﹣15x+472；
（2）x＝20时，
y＝﹣15×20+472＝172（页），
∴当小明阅读20天后，还剩下172页书没看．
21．（8分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 90 ．
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数．
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据中位数定义解答即可；
（2）根据平均数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）把50名学生的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是90，90，故中位数90；
故答案为：90；
（2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为（2×60+3×70+15×80+16×90+14×100）÷50＝87.4；
（3）1500×＝900（名），
答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900名．
22．（10分）已知一次函数 y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限．
（1）求m的取值范围．
（2）当m＝1时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的情况下，当﹣3＜x≤1时，根据图象求出y的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数图象与系数的关系得到3﹣m＞0，即可得出答案；
（2）根据两点确定一条直线可以画出该函数的图象；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限，
∴3﹣m＞0，
解得m＜3；
（2）当m＝1时，
∴y＝（3﹣1）x+4＝2x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，
该一次函数的图象如图所示：
（3）由图象可得，当﹣3＜x≤1时，y的取值范围是﹣2＜x≤6．
23．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简； ＝ ． ＝ 3﹣3 ．
（2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长．
（3）当a＞b＞0时，化简：．
【分析】（1）分别分子、分母同乘和﹣即可；（2）首先求另一边长为6﹣2，再按矩形的周长公式计算即可；（3）把各加数分母有理化，再加减即可．
【解答】解：（1）＝＝，＝＝3﹣3；
故答案为：，3﹣3；
（2）另一边长为：＝＝6﹣2，
所以2（+2+6﹣2）＝16﹣2，
答：这个矩形的周长为16﹣2；
（3）当a＞b＞0时，
＝﹣
＝
＝．
24．（12分）如图1，矩形ABCD的一边AD在x轴上，点C的坐标为（﹣2，4），点A的坐标为（4，0）．
（1）求证：四边形OABE为正方形；
（2）如图2，若点F为AB中点，连接OC，OF，直线AC交OF于点G，交y轴于点H．
①求△OCG 的面积．
②点M在x轴的正半轴上，平面内是否存在点N，使以点A，H M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（4，0）得OA＝4，根据四边形ABCD是矩形，C（﹣2，4），可得OA＝OE＝4，∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，故四边形OABE为正方形；
（2）①求出F（4，2），直线OF解析式为y＝x，直线AC解析式为y＝﹣x+，联立，可得G（，），再求出H（0，），OH＝，故S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，从而S△OCG＝+＝；
②设M（t，0），N（m，n），当AH，MN为对角线时，AH，MN的中点重合，且AM＝HM，有，可解得N（，）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，同理得N（8，﹣）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，可得N（4，）．
【解答】（1）证明：∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDA＝∠DAB＝∠B＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵C（﹣2，4），
∴CD＝OE＝4，
∴OA＝OE＝4，
∵∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，
∴四边形OABE为正方形；
（2）解：①由（1）知，OA＝4，四边形OABE为正方形，
∴B（4，4），
∵点F为AB中点，
∴F（4，2），
由O（0，0），F（4，2）的直线OF解析式为y＝x，
由A（4，0），C（﹣2，4）得直线AC解析式为y＝﹣x+，
联立，解得，
∴G（，），
在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，
∴H（0，），
∴OH＝，
∴S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，
∴S△OCG＝+＝，
∴△OCG 的面积为；
②平面内存在点N，使以点A，H M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设M（t，0），N（m，n），
而A（4，0），H（0，），
当AH，MN为对角线时，AH，MN的中点重合，且AM＝HM，
∴，
解得，
∴N（，）；
当AM，HN为对角线时，AM，HN的中点重合，且AH＝HM，
∴，
解得或（此时M不在x轴正半轴，舍去），
∴N（8，﹣）；
当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，
∴，
解得或（舍去），
∴N（4，）；
综上所述，N的坐标为（，）或（8，﹣）或（4，）．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
【分析】（1）①由四边形ABCD是正方形，得∠1+∠BAF＝90°，由AE⊥AF，得∠2+∠BAF＝90°，故∠1＝∠2；
②在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，证明△ABG≌△ADL（SAS），可得BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，根据四边形ABCD是正方形，可得∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，故BK2+DL2＝GK2，而AH平分∠EAF，可证△AGK≌△ALK（SAS），GK＝KL，从而BK2+DL2＝KL2；
（2）当E在线段CB延长线上时，证明△ABE≌△ADF（ASA），有AE＝AF，即可证△EAH≌△FAH（SAS），从而BE+BH＝HF；当E在线段CB上时，证明△ABE≌△ADF（ASA），得AE＝AF，可证△EAH≌△FAH（SAS），EH＝HF，故BH﹣BE＝HF．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，即∠1+∠BAF＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，即∠2+∠BAF＝90°，
∴∠1＝∠2；
②解：BK2+DL2＝KL2，证明如下：
在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，如图：
在△ABG和△ADL中，
，
∴△ABG≌△ADL（SAS），
∴BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADL＝45°，
∴∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，
∴BK2+BG2＝GK2，
∴BK2+DL2＝GK2，
∵AH平分∠EAF，
∴∠GAK＝∠LAK，
∵AG＝AL，AK＝AK，
∴△AGK≌△ALK（SAS），
∴GK＝KL，
∴BK2+DL2＝KL2；
（2）解：当E在线段CB延长线上时，如图：
∵∠1＝∠2，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH，
∴△EAH≌△FAH（SAS），
∴EH＝HF，
∴BE+BH＝HF；
当E在线段CB上时，如图：
∵∠BAE＝90°﹣∠DAE＝∠DAF，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH，
∴△EAH≌△FAH（SAS），
∴EH＝HF，
∴BH﹣BE＝HF；
综上所述，当E在线段CB延长线上时，BE+BH＝HF；当E在线段CB上时，BH﹣BE＝HF．分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14
分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝110°，则∠B 的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．90°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2） 在函数y＝2x﹣7的图象上，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法判断
6．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BDB．AB＝BC
C．AC⊥BDD．AC平分∠BAD
7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a2＝（c+b）（c﹣b）D．∠A＝∠B
8．（3分）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（ ）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是0.1km/min
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD中点，连接OE．若AB的长为6，△DOE的周长为10，则△BCD的周长是（ ）
A．8B．12C．16D．20
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（ ）
A．B．C．32D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为 ，，则玉米苗长得更整齐的试验田是 ．
13．（3分）若直线y＝﹣2x+b与x轴的交点为（2，0），则关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，点E是BC的中点，∠EAB＝35°，则∠CAD的度数为 ．
15．（3分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50° 方向航行，那么慢船沿 方向航行．
16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（3，0），点D，E分别是线段BO，BC上的动点，且BD＝CE，则BC的长为 ；当AD+AE的值取最小值时，点D的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程
17．（4分）计算：．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，求BD的长．
19．（6分）如图，E、F为▱ABCD的对角线AC上的两点，请你添加一个条件，使得BE＝DF．
（1）你添加的条件是 ．
（2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：BE＝DF．
20．（6分）小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为x天，还剩下y页书没看．
（1）求y与x的函数关系．
（2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看．
21．（8分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 ．
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数．
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
22．（10分）已知一次函数 y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限．
（1）求m的取值范围．
（2）当m＝1时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的情况下，当﹣3＜x≤1时，根据图象求出y的取值范围．
23．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简； ＝ ． ＝ ．
（2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长．
（3）当a＞b＞0时，化简：．
24．（12分）如图1，矩形ABCD的一边AD在x轴上，点C的坐标为（﹣2，4），点A的坐标为（4，0）．
（1）求证：四边形OABE为正方形；
（2）如图2，若点F为AB中点，连接OC，OF，直线AC交OF于点G，交y轴于点H．
①求△OCG 的面积．
②点M在x轴的正半轴上，平面内是否存在点N，使以点A，H M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝2，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据众数的概念求得这组数据的众数即可．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据出现次数最多的数是5，即众数是5，
故选：C．
3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D＝110°，则∠B 的度数是（ ）
A．35°B．55°C．70°D．90°
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝110°，
∴∠B＝∠D＝55°，
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则判断即可．
【解答】解：A．+≠，故本选项不符合题意；
B．3﹣＝2，故本选项不符合题意；
C．+≠3，故本选项不符合题意；
D．×＝3，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（2，y2） 在函数y＝2x﹣7的图象上，则（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．无法判断
【分析】根据所给函数解析式，得出y随x的变化情况，据此可解决问题．
【解答】解：因为函数解析式为y＝2x﹣7，
所以y随x的增大而增大，
又因为﹣1＜2，
所以y1＜y2．
故选：A．
6．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD是两条对角线，添加下列条件后能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BDB．AB＝BC
C．AC⊥BDD．AC平分∠BAD
【分析】由矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，下列选项中能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝1，b＝2，c＝3
C．a2＝（c+b）（c﹣b）D．∠A＝∠B
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝75°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝12+22＝5，c2＝32＝9，
∴a2+b2≠c2，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2＝（c+b）（c﹣b），
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C符合题意；
D、∵∠A＝∠B，
∴a＝b，
∴能判定△ABC为等腰三角形，不能判定△ABC为直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（ ）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是0.1km/min
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
【分析】由函数图象分别得出选项的结论，然后作出判断即可．
【解答】解：由图象知，
A、小丽家到便利店距离是0.5千米＝500米，故A选项不符合题意；
B、小丽在便利店停留了10﹣5＝5（分钟），故B选项不符合题意；
C、小丽步行的速度是＝0.1（km/min），故C选项不符合题意；
D、小丽骑自行车的速度是＝0.2（km/min），
＝2，
小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故D选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边AD中点，连接OE．若AB的长为6，△DOE的周长为10，则△BCD的周长是（ ）
A．8B．12C．16D．20
【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，再证明OE是△ABD的中位线，得OE＝AB＝3，然后求出DE+OD＝7，则BC+BD＝14，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，OA＝OC，OB＝OD＝BD，AD＝BC，
∵E是边AD中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴DE＝ADOE＝AB＝3，
∵△DOE的周长为10，
∴OE+DE+OD＝10，
∴DE+OD＝10﹣3＝7，
即AD+BD＝2（DE+OD）＝2×7＝14，
∴BC+BD＝14，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝14+6＝20，
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝10，CD＝6，作AF⊥DE于点G，交CD于F，则CF的长是（ ）
A．B．C．32D．2
【分析】由矩形的性质得BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，则BE＝＝8，求得CE＝BC﹣BE＝2，因为AF⊥DE，所以AF垂直平分DE，则EF＝DF＝6﹣CF，由勾股定理得22+CF2＝（6﹣CF）2，求得CF＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AE＝AD＝10，CD＝6，
∴BC＝AD＝10，AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，
∴BE＝＝＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∵AF⊥DE于点G，交CD于F，
∴AF垂直平分DE，
∴EF＝DF＝6﹣CF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴22+CF2＝（6﹣CF）2，
解得CF＝，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥3 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）技术员分别从甲、乙两块玉米试验田中随机抽取100株玉米苗，测得玉米苗高的平均数相同，方差分别为 ，，则玉米苗长得更整齐的试验田是 甲 ．
【分析】根据方差越小，长势越整齐进行求解即可．
【解答】解：∵，，
∴S2甲＜S2乙，
∴玉米苗长得更整齐的是甲，
故答案为：甲．
13．（3分）若直线y＝﹣2x+b与x轴的交点为（2，0），则关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为 x
＝2 ．
【分析】将（2，0）代入直线函数解析式，求出b，再解关于x的方程即可解决问题．
【解答】解：将（2，0）代入y＝﹣2x+b得，
b＝4，
则解方程﹣2x+4＝0得，
x＝2，
所以关于x的一元一次方程﹣2x+b＝0的解为x＝2．
故答案为：x＝2．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，点E是BC的中点，∠EAB＝35°，则∠CAD的度数为 35° ．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质，求出∠B＝55°，可得结论．
【解答】解：∵∠∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝EB＝EC，
∴∠B＝∠EAB＝35°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝55°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35°
15．（3分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西50° 方向航行，那么慢船沿 南偏西40° 方向航行．
【分析】根据三角形的三边长，可知AC2+BC2＝AB2，得∠ACB＝90°，从而得出答案．
【解答】解：由题意知，AC＝24海里，BC＝10海里，AB＝26海里，
∵AC2+BC2＝400，AB2＝400，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵甲船沿北偏西50°方向航行，
∴乙船以南偏东40°方向航行．
故答案为：南偏西40°．
16．（3分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C的坐标为（3，0），点D，E分别是线段BO，BC上的动点，且BD＝CE，则BC的长为 5 ；当AD+AE的值取最小值时，点D的坐标为 （0，） ．
【分析】依据题意，由一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，从而令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣3，故可得A（﹣3，0），B（0，4），又C为（3，0），从而可得BC＝＝5；又作CF⊥x轴于C，使得CF＝AB，连接EF，先证明△ABD≌△FCE，进而可得AD＝FE，故AD+AE＝AE+EF≥AF，则当E在AF上时，AD+AE最小，然后先求出直线AF为y＝x+，再求出BC，进而可得E的坐标，最后求出CE＝BD，结合D在y轴上可得坐标．
【解答】解：由题意，∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣3．
∴A（﹣3，0），B（0，4）．
又C为（3，0），
∴OB＝4，OC＝3．
∴BC＝＝5．
如图，作CF⊥x轴于C，使得CF＝AB，连接EF，
∴BO∥FC．
∴∠FCE＝∠CBD．
∵A（﹣3，0），C（3，0），
∴OA＝OC．
又OB⊥AC，
∴AB＝BC＝CF＝5，∠ABD＝∠CBD＝∠FCE．
在△ABD和△FCE中，
，
∴△ABD≌△FCE（SAS）．
∴AD＝FE．
∴AD+AE＝AE+EF≥AF．
∴当E在AF上时，AD+AE最小．
∵F（3，5），A（﹣3，0），
∴直线AF为y＝x+．
又∵直线BC为y＝﹣x+4，
∴联列方程组．
∴E（，）．
∴CE＝BD＝．
∴D的纵坐标为：4﹣＝．
∴D（0，）．
故答案为：5；（0，）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程
17．（4分）计算：．
【分析】根据乘法的分配律以及合并同类二次根式进行计算即可．
【解答】解：原式＝2+3﹣3
＝3﹣．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于点D，求BD的长．
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再由题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
19．（6分）如图，E、F为▱ABCD的对角线AC上的两点，请你添加一个条件，使得BE＝DF．
（1）你添加的条件是 AE＝CF（答案不唯一） ．
（2）根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：BE＝DF．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，则∠BAE＝∠DCF，再证明△ABE≌△CDF（SAS），即可得出结论．
【解答】（1）解：添加条件：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
20．（6分）小明打算利用暑假阅读名著《儒林外史》，该书有472页，他计划每天看15页，设小明看书时间为x天，还剩下y页书没看．
（1）求y与x的函数关系．
（2）当小明阅读20天后，还剩下多少页书没看．
【分析】（1）根据题意列函数关系式；
（2）代入数据求值．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式：y＝﹣15x+472；
（2）x＝20时，
y＝﹣15×20+472＝172（页），
∴当小明阅读20天后，还剩下172页书没看．
21．（8分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是 90 ．
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数．
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据中位数定义解答即可；
（2）根据平均数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）把50名学生的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是90，90，故中位数90；
故答案为：90；
（2）该50名同学这次竞赛成绩的平均数为（2×60+3×70+15×80+16×90+14×100）÷50＝87.4；
（3）1500×＝900（名），
答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900名．
22．（10分）已知一次函数 y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限．
（1）求m的取值范围．
（2）当m＝1时，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（3）在（2）的情况下，当﹣3＜x≤1时，根据图象求出y的取值范围．
【分析】（1）根据一次函数图象与系数的关系得到3﹣m＞0，即可得出答案；
（2）根据两点确定一条直线可以画出该函数的图象；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝（3﹣m）x+4的图象不经过第四象限，
∴3﹣m＞0，
解得m＜3；
（2）当m＝1时，
∴y＝（3﹣1）x+4＝2x+4，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2，
该一次函数的图象如图所示：
（3）由图象可得，当﹣3＜x≤1时，y的取值范围是﹣2＜x≤6．
23．（10分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简； ＝ ． ＝ 3﹣3 ．
（2）矩形的面积为，一边长为，求这个矩形的周长．
（3）当a＞b＞0时，化简：．
【分析】（1）分别分子、分母同乘和﹣即可；（2）首先求另一边长为6﹣2，再按矩形的周长公式计算即可；（3）把各加数分母有理化，再加减即可．
【解答】解：（1）＝＝，＝＝3﹣3；
故答案为：，3﹣3；
（2）另一边长为：＝＝6﹣2，
所以2（+2+6﹣2）＝16﹣2，
答：这个矩形的周长为16﹣2；
（3）当a＞b＞0时，
＝﹣
＝
＝．
24．（12分）如图1，矩形ABCD的一边AD在x轴上，点C的坐标为（﹣2，4），点A的坐标为（4，0）．
（1）求证：四边形OABE为正方形；
（2）如图2，若点F为AB中点，连接OC，OF，直线AC交OF于点G，交y轴于点H．
①求△OCG 的面积．
②点M在x轴的正半轴上，平面内是否存在点N，使以点A，H M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A（4，0）得OA＝4，根据四边形ABCD是矩形，C（﹣2，4），可得OA＝OE＝4，∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，故四边形OABE为正方形；
（2）①求出F（4，2），直线OF解析式为y＝x，直线AC解析式为y＝﹣x+，联立，可得G（，），再求出H（0，），OH＝，故S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，从而S△OCG＝+＝；
②设M（t，0），N（m，n），当AH，MN为对角线时，AH，MN的中点重合，且AM＝HM，有，可解得N（，）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，同理得N（8，﹣）；当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，可得N（4，）．
【解答】（1）证明：∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDA＝∠DAB＝∠B＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵C（﹣2，4），
∴CD＝OE＝4，
∴OA＝OE＝4，
∵∠OAB＝∠B＝∠EOA＝90°，
∴四边形OABE为正方形；
（2）解：①由（1）知，OA＝4，四边形OABE为正方形，
∴B（4，4），
∵点F为AB中点，
∴F（4，2），
由O（0，0），F（4，2）的直线OF解析式为y＝x，
由A（4，0），C（﹣2，4）得直线AC解析式为y＝﹣x+，
联立，解得，
∴G（，），
在y＝﹣x+中，令x＝0得y＝，
∴H（0，），
∴OH＝，
∴S△COH＝××2＝，S△GPH＝××＝，
∴S△OCG＝+＝，
∴△OCG 的面积为；
②平面内存在点N，使以点A，H M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设M（t，0），N（m，n），
而A（4，0），H（0，），
当AH，MN为对角线时，AH，MN的中点重合，且AM＝HM，
∴，
解得，
∴N（，）；
当AM，HN为对角线时，AM，HN的中点重合，且AH＝HM，
∴，
解得或（此时M不在x轴正半轴，舍去），
∴N（8，﹣）；
当AN，MH为对角线时，AN，MH的中点重合，且AM＝AH，
∴，
解得或（舍去），
∴N（4，）；
综上所述，N的坐标为（，）或（8，﹣）或（4，）．
25．（12分）四边形ABCD是正方形，点E是射线CB上一动点，过点A作AE⊥AF交直线CD于点F，作∠EAF的平分线AH交直线BC于点H，连接HF．
（1）如图1，若点E在线段CB延长线上，点H在线段CB上．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，连接BD交AH于点K，交AF于点L，请探索BK，KL，DL之间的数量关系并证明．
（2）请直接写出BH，BE和HF之间的数量关系．
【分析】（1）①由四边形ABCD是正方形，得∠1+∠BAF＝90°，由AE⊥AF，得∠2+∠BAF＝90°，故∠1＝∠2；
②在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，证明△ABG≌△ADL（SAS），可得BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，根据四边形ABCD是正方形，可得∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，故BK2+DL2＝GK2，而AH平分∠EAF，可证△AGK≌△ALK（SAS），GK＝KL，从而BK2+DL2＝KL2；
（2）当E在线段CB延长线上时，证明△ABE≌△ADF（ASA），有AE＝AF，即可证△EAH≌△FAH（SAS），从而BE+BH＝HF；当E在线段CB上时，证明△ABE≌△ADF（ASA），得AE＝AF，可证△EAH≌△FAH（SAS），EH＝HF，故BH﹣BE＝HF．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，即∠1+∠BAF＝90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，即∠2+∠BAF＝90°，
∴∠1＝∠2；
②解：BK2+DL2＝KL2，证明如下：
在AE上取点G，使AG＝AL，连接BG，KG，如图：
在△ABG和△ADL中，
，
∴△ABG≌△ADL（SAS），
∴BG＝DL，∠ABG＝∠ADL，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADL＝45°，
∴∠GBK＝∠ABD+∠ABG＝90°，
∴BK2+BG2＝GK2，
∴BK2+DL2＝GK2，
∵AH平分∠EAF，
∴∠GAK＝∠LAK，
∵AG＝AL，AK＝AK，
∴△AGK≌△ALK（SAS），
∴GK＝KL，
∴BK2+DL2＝KL2；
（2）解：当E在线段CB延长线上时，如图：
∵∠1＝∠2，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH，
∴△EAH≌△FAH（SAS），
∴EH＝HF，
∴BE+BH＝HF；
当E在线段CB上时，如图：
∵∠BAE＝90°﹣∠DAE＝∠DAF，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF，
∵∠EAH＝∠FAH，AH＝AH，
∴△EAH≌△FAH（SAS），
∴EH＝HF，
∴BH﹣BE＝HF；
综上所述，当E在线段CB延长线上时，BE+BH＝HF；当E在线段CB上时，BH﹣BE＝HF．分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14
分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14
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