安徽省合肥市第十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学复习卷

这是一份安徽省合肥市第十中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学复习卷，文件包含20242025学年度高二第一学期数学期中考试复习卷详解docx、20242025学年度高二第一学期数学期中考试复习卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知直线过，两点，且，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
解:因为直线过，两点，可得，
又因为，所以，可得，
设直线的倾斜角为，则，因为，所以，
所以直线的倾斜角为.
故选A
2．已知平面α的一个法向量为n=(4,−2,m)，直线l的一个方向向量为u=(−1,−3,2)，若l//α，则m=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
【答案】B
【解答】
解：因为l//α，所以n⊥u，
所以n⋅u=−4+6+2m=0，
解得m=−1．
故选：B．
3．已知，若共面，则实数的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
解:显然向量与不平行，而，，共面，
则存在实数，使，即，
于是，解得，所以实数的值为5.
故选B
4．若，分别为与上任一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解:由，可得两条直线相互平行，的最小值是平行线之间的距离，
直线可变形为
则的最小值为．
故选C
5．圆与圆的公切条数为（ ）
A．2条B．1条C．3条D．4条
【答案】A
【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步判断两圆的位置关系，最后得出两圆的公切线的条数.
【详解】由是以为圆心， 3为半径的圆.，
转换为，
即该圆是以为圆心，4为半径的圆.
所以圆心距，
所以
所以两圆相交，故公切线的条数为2，
故选：A
6.已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．3D．
【详解】定点，，
故，所以；
故：，
所以，
所以点到直线的距离．
故选C
7．设直线l与圆交于A，B两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线l的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【详解】圆的圆心为（-2，5），
因为线段的中点为，
所以直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，即，
圆的圆心到直线AB的距离为：
，
所以圆上的点到直线l的距离的最大值为，
故选D
8.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tanθ的最大值为( )
A. 43B. 53C. 2D. 259
【答案】B
【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设P(x,3,z)，A3,0,0,B3,3,0,D10,0,4，则AP=(x−3,3,z)，BD1=(−3,−3,4)，
∵AP⊥BD1，∴AP⋅BD1=−3(x−3)−3×3+4z=0，∴z=34x，
∴|BP|= (x−3)2+z2= 2516x2−6x+9= 2516(x−4825)2+8125≥95，
连接BP，易知AB⊥面BCC1B1，所以AP与平面BCC1B1所成的角即为∠APB，
∴tanθ=|AB||BP|≤53，
∴tanθ的最大值为53．
故选本题B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ）
A．
B．
C．异面直线OB与AC所成角的余弦值为
D．点O到直线BC的距离是
【答案】AC
【详解】对于A，，，，
依题意，，，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，,因为，
则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为，，在上的投影为，
所以点O到直线BC的距离是，故D错误.
故选：AC.
10.下列说法不正确的有( )
A. 若两条直线2x+ay−5=0与ax+2y−5=0互相平行，则实数a的值为−2
B. 若直线y=kx+b不经过第三象限，则点(k,b)在第二象限
C. 过点(−2,−3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=−5
D. 已知直线kx−y−k−1=0和以M(−3,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≥32或k≤−12
【答案】BC
【解答】对于A，若两条直线2x+ay−5=0与ax+2y−5=0互相平行，
其中直线ax+2y−5=0的斜率为−a2，则直线2x+ay−5=0的斜率存在且为−2a，
得−2a=−a2，解得a=−2或a=2，
当a=2，此时两条直线2x+ay−5=0与ax+2y−5=0重合，
故实数a的值为−2，选项 A正确；
对于B，当k=0,b=0时，直线y=0不经过第三象限，此时点(0,0)是坐标原点，不在第二象限，选项 B错误；
对于C，当直线过原点时，直线y=32x经过点(−2,−3)，即直线y=32x也满足题意，选项 C错误；
对于D，将直线kx−y−k−1=0化为k(x−1)−(y+1)=0，
所以直线kx−y−k−1=0恒过定点P(1,−1)，且直线kx−y−k−1=0的斜率为k，
其中kPM=−1−11+3=−12，kPN=−1−21−3=32，
结合图象，若直线kx−y−k−1=0与线段MN相交，可得k≥32或k≤−12，
选项D正确．
故选：BC．
11．已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．若圆关于直线对称，则
B．的最小值为
C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
D．若，，，（为坐标原点）四点共圆，则
【答案】BC
【详解】直线过定点，
圆，即，圆心为，半径．
对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，得，故A错误．
对于B选项，圆的圆心为，半径为4，
圆心到直线的距离的最大值为，
所以AB的最小值为，故B正确．
对于C选项，当时，直线：，
曲线：，即，
所以曲线即为过直线与圆的交点的曲线方程，故C正确．
对于D选项，若，，，四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，所以的垂直平分线方程为：，所以，
圆的方程为，整理得，
直线是圆和圆的交线，所以直线的方程为，
将点坐标代入上式得，解得，
所以直线即直线的斜率为，所以，故D错误．
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与直线垂直，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故答案为：.
13.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，DD1=2AB=2BC=2，动点P满足D1PD1B=λ(0<λ<1)且在线段BD1上，当AP与CP垂直时，λ的值为 ．
【答案】23
【解答】由题设可知，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，
则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，
则D1B=(1,1,−2)，得D1P=λD1B=(λ,λ,−2λ)，
所以AP=AD1+D1P=(λ−1,λ,−2λ+2)，CP=CD1+D1P=(λ,λ−1,−2λ+2)，
由AP⊥CP可知AP⋅CP=0，即2λ(λ−1)+4(λ−1)2=0，
解得λ=23或λ=1，因此λ的值为23．
故答案为：23．
14.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥AB，DC=8，DE=6.沿着DE将△ADE折起，使A到达点A′的位置，且平面A′DE⊥平面ADE.设P为△A′DE内的动点，若∠EPB=∠DPC，则点P的轨迹长度为____________．
【答案】4π3
【解答】因为∠EPB=∠DPC，
所以tan∠EPB=tan∠DPC，
因为平面A′DE⊥平面BCDE，
又平面A′DE∩平面BCDE=DE，DE⊥AB，AB⊂平面BCDE，
所以AB⊥平面A′DE，
又DP，PE⊂平面A′DE，
故BE⊥PE，BE⊥DP，
又ABCD为平行四边形，
所以AB/​/CD，
所以CD⊥DP，
在Rt△EPB中，tan∠EPB=BEPE，
在Rt△DPC中，tan∠DPC=CDPD，
所以BEPE=CDPD，
又E为AB中点，且AB=CD，
所以PD=2PE，
以E为坐标原点，ED为x轴，EA′为y轴建立平面直角坐标系，
则D(6,0)，E(0,0)，设P(x,y)，
则有 (x−6)2+y2=2 x2+y2，
整理可得(x+2)2+y2=16，
故点P的轨迹是以M(−2,0)为圆心，半径r=4的圆，
设点P在平面A′DE内的圆弧对应的圆心角为α，
则csα=MEr=24=12，
故α=π3，
根据弧长公式l=αr=π3×4=4π3，
所以P的轨迹的长度为4π3．
故答案为4π3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15.（13分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为点E为的中点，所以
.
（2）因为，，
所以
=
16.（15分）已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
【答案】解：(1)∵边AC上的高BH所在直线方程为x−2y−5=0，
∴kAC⋅kBH=−1 ，且kBH=12，
∴kAC=−2．
∵△ABC的顶点A5,1，
∴直线AC的方程：y−1=−2x−5，即2x+y−11=0．
联立方程2x+y−11=0,2x−y−5=0, 解得x=4,y=3,
∴顶点C的坐标为(4,3)．
(2)∵CM所在直线方程为2x−y−5=0，
故设点M的坐标为m,2m−5，
∵M是AB的中点，A5,1，
∴B2m−5,4m−11．
∵B2m−5,4m−11在BH所在直线x−2y−5=0上，
∴2m−5−24m−11−5=0，解得m=2，
∴B点坐标为(−1,−3)，
由(1)知点C的坐标为(4,3)，
故直线BC的方程为y+3=65x+1，即6x−5y−9=0．
17．（15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和．
(1)求圆的标准方程；
(2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，
设，
由可得，解得，
可知圆心，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）取点关于轴的对称点，
可知直线过点，且与圆相切，
若直线的斜率不存在，则，
此时圆心到直线的距离，不合题意；
所以直线的斜率存在，设为，则，即，
则圆心到直线的距离，整理得，
解得或，
所以直线的方程为或.
18．（17分）如图所示：多面体中，四边形为菱形，四边形为直角梯形，且，平面，．

(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解. (2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以；
又底面为菱形，所以；
又，平面，所以平面.
（2）如图：

设，取的中点，连接，则，所以平面.
故可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
因为为直线与平面所成的角，所以.
又,
所以O0,0,0，，，，，
则，.
设平面的法向量为，
则，取.
又为平面的法向量，设平面与平面所成的角为，
则.
19．已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）．
(1)若是等腰三角形，求点的坐标；
(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标；
(3)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)或．
(2)证明见解析，定点．
(3)．
【详解】（1）设点，由，得，
整理得曲线的轨迹方程为，由对称性不妨令，
设点，若是等腰三角形，则，解得，
所以点的坐标为或.
（2）由（1）知，，则直线的斜率，直线的斜率，有，
而，则直线的斜率，即，
设直线，代入得：，
设，则，，
因为，
整理得，
则，而，解得，
所以直线恒过定点．
（3）由（2）得，，
则，
令，则，
而，则当时，取得最大值，此时，
所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为.