湖北省武汉市硚口区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

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九年级数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2.已知m，n是一元二次方程x2-4x-2＝0的两个实数根，则m+n的值是
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD可以由△AOB旋转得到，则正确的旋转方式是
A.绕点D逆时针旋转135°
B.绕点O顺时针旋转45°
C.绕点O逆时针旋转90°
D.绕点B逆时针旋转135°
4.将抛物线y＝-2（x-3）2+1平移后得到抛物线y＝-2x2，正确的平移方式是
A.向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度
B.向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度
C.向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度
D.向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度
8.关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
A.m＜4 B.m≤4
C.m＜-4 D.m＞4
6.如图，⊙P经过点O（0，0），交y轴于点B，若P（-5，-3），则点B的纵坐标是
A.-10 B.-8
C.-6 D.-4
7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载:今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，那之适出.问户高、广、邪各几何？译文是:今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺;竖放，竿比门高长出2尺;斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则下列正确的方程是
A.（x-4）2+（x-2）2＝x2 B.（x+4）2＝x2+（x-2）2
C.（x-4）2＝x2+（x+2）2 D.（x+4）2＝x2+（x+2）2
8.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，且最高高度为92m，水柱落地处离池中心5m，则水管OA的长是
A.94m B.198m C.52m D.218m
9.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，连接BD，BE.若∠BED＝80°，∠ADB＝60°，则∠CBE的大小是
A.10° B.15° C.20° D.25°
10.已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y＝ax2-2a2x上（常数a≠0），若对于x1＝3a， 3≤x2≤4，都有y1＜y2，则a的值不可能是
A.-92 B.-72 C.23 D.12
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
下列各题不需要写出解题过程，请将结果直接填写在答题卡指定位置.
11.已知点P（2025，m）与点Q（n，-2024）关于原点O中心对称，则m的值是.
12.将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是.
13.点P（4，5）绕点O（0，0）顺时针旋转90°后，得到对应点的坐标是_____.
14.某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是_____
15.如图,正方形ABCD的边长为2,BE＝AB,BF平分∠EBC交AE的延长线于F，交CD于M.当M为CD的中点时，AE的长是_____.
16.抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点（-2，0），且c＜0.
下列四个结论:
① 4a-2b+c＝0;
② 当x＜-2时，y＞0;
③ 若点（1，1），（2，t）均在抛物线上，则t＞83;
④ 不等式t（at+b）≥a+b对任意的实数t都成立，则4a+b+c4c-5a＜16.
其中正确的结论是______（填写序号）.
三、解答题（共8小题，共72分）
下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.
17.（木题满分8分）
解方程:x2+3x+1＝0.
18.（本题满分8分）
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应点E落在AB上.
（1）若AC＝6，BC＝8，求BE的长.
（2）连接BD，在△ABC中，添加与角相关的一个条件，使△ABD是等边三角形.（不需要说明理由）
19.（本题满分8分）
如图,在等腰△ABC中,AB＝AC,⊙A交BC于D,E两点,半径AF⊥BC于H.
（1）求证:BD＝CE;
（2）若DE＝8，FH＝2，求⊙A的半径.
20.（本题满分8分）
如图，某植物园有一块足够大的空地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边利用一堵墙的矩形ABCD花圃，墙长为6米，其中边AD大于或等于墙长，中间用篱笆隔开.设BC的长为x米， AB的长为y米，矩形ABCD花圃的面积为s米2.
（1）直接写出y关于x，s关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围;
（2）当BC的长为多少时，矩形ABCD花圃的面积最大？最大面积为多少？
21.（本题满分8分）
如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图.
（1）在图1中，D在线段BC上，先画@ABCE，再在AB上画点F，使DF∥AC;
（2）在图2中，先画△ABC的高CH，再在射线CH上画点P，使∠APC＝∠ABC.
22.（本题满分10分）
图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载:曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD，墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为23米，垂直距离为6米.以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x-15）2+k的一部分.
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为9米.
① 求抛物线的解析式（不用写出x的取值范围）;
② 石块能否飞越防御墙.
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（不包括端点B，C），直接写出a的取值范围.
23.（本题满分10分）
问题情境CD是等边△ABC的中线，点P在线段CD上运动（不包括端点C，D），将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上，探究∠APE的大小.记∠CAP＝α.
问题探究（1）如图1，将问题特殊化，当a＝30°时，直接写出∠APE的大小;
（2）如图2，将问题一般化，当0°＜α＜30°时，求证:AC-CECF是定值.
（3）问题拓展 当30°＜α＜60°时，若PC＝23EC，直接写出APAC的值.
图2
24.（本题满分12分）
如图1，抛物线y＝-14x2+c交x轴于A（-4，0），B两点，交y轴于点C.
（1）直接写出直线BC和抛物线的解析式;
（2）设直线y＝m与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线CB交于点F，若DF＝3EF，求m的值;
（3）如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线
x＝t（t≠4）分别交直线BM，BN，x轴于P，Q，G三点，若PG-QG＝2，求t的值.