5.4　解三角形（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

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五年高考
考点1 正弦定理、余弦定理
1.(2023全国乙文,4,5分,易)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acs B-bcsA=c,且C=π5,则B=( )
A.π10 B.π5
C.3π10 D.2π5
2.(2021全国甲文,8,5分,易)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=( )
A.1 B.2 C.5 D.3
3.(2020课标Ⅲ理,7,5分,易)在△ABC中,cs C=23,AC=4,BC=3,则cs B=( )
A.19 B.13 C.12 D.23
4.(2020课标Ⅲ文,11,5分,易)在△ABC中,cs C=23,AC=4,BC=3,则tan B=( )
A.5 B.25
C.45 D.85
5.(2019课标Ⅰ文,11,5分,易)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsinB=4csin C,cs A=-14,则bc=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
6.(2021全国乙文,15,5分,易)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
7.(2019课标Ⅱ文,15,5分,易)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acsB=0,则B= .
8.(2023全国乙理,18,12分,中)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1.
(1)求sin∠ABC;
(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.
9.(2021新高考Ⅰ,19,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BD·sin∠ABC=asin C.
(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
考点2 解三角形及其综合应用
1.(2023全国甲理,16,5分,中)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=6,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD= .
(2022全国甲,理16,文16,5分,中)已知△ABC中,点D在边BC上,
∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .
3.(2021浙江,14,6分,中)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC= ,cs∠MAC= .
4.(2020全国Ⅰ,16,5分,中)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB= .
5.(2023新课标Ⅰ,17,10分,中)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
6.(2023新课标Ⅱ,17,10分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为3,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=π3,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
7.(2022新高考Ⅱ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sin B=13.
(1)求△ABC的面积;
(2)若sin Asin C=23,求b.
8.(2022新高考Ⅰ,18,12分,中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csA1+sinA=sin2B1+cs2B.
(1)若C=2π3,求B;
(2)求a2+b2c2的最小值.
9.(2021新高考Ⅱ,18,12分,中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.
三年模拟
综合基础练
1.(2023福建福州质检,5)已知△ABC的外接圆半径为1,A=π3,则AC·cs C+AB·cs B=( )
A.12 B.1 C.32 D.3
2.(2024届河南TOP二十名校调研(三),5)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且b=2a,2a2+b2=c2,则sin B=( )
A.14 B.64 C.104 D.154
3.(2024届北京海淀期中,8)在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则( )
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
4.(2024届广东六校第二次联考,4)如图,A、B两点在河的同侧,且A、B两点均不可到达.现需测A、B两点间的距离,测量者在河对岸选定两点C、D,测得CD=32 km,同时在C、D两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,则A、B两点间的距离为( )
A.32 km B.34 km C.63 km D.64 km
5.(2024届河北师范大学附属实验中学月考,8)海伦公式是利用三角形的三条边的长a,b,c直接求三角形面积S的公式,表达式为S=p(p−a)(p−b)(p−c)其中p=a+b+c2;它的特点是形式漂亮,便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”,但它与海伦公式完全等价,因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式.现在有周长为10+27的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶7,则用以上给出的公式求得△ABC的面积为( )
A.87 B.47 C.63 D.12
6.(2023北京房山一模,14)在△ABC中,sin A=sin 2A,2a=3b,则A= ;bc的值为 .
7.(2024届广东湛江调研,17)如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AB⊥BD.已知cs A=2sinA2sin∠ABC+C2,AB=2.
(1)求A;
(2)若△BCD的面积为12,求BC.
综合拔高练
1.(2024届四川绵阳中学第二次月考,10)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知1tanA+1tanB=1tanC,则a2+b2c2=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024届鄂南高中联考期中,8)在△ABC中,AB=2AC,且△ABC的面积为1,则BC的最小值为( )
A.2 B.3
C.1 D.2
3.(2024届辽宁省实验中学期中,8)在锐角三角形ABC中,A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足b2=a(a+c),则b+ca的取值范围为( )
A.(1,5) B.(2+1,5)
C.(1,3+2) D.(2+1,3+2)
4.(多选)(2024届河北邢台第一中学月考,9)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列与△ABC有关的结论,正确的是( )
A.若a=2,A=30°,则b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4
B.若acs A=bcs B,则△ABC是等腰直角三角形
C.若△ABC是锐角三角形,则cs Aa,
若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,
∴cs C=a2+b2−c22ab