6.2　平面向量的数量积及其应用（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

这是一份6.2　平面向量的数量积及其应用（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案），共11页。试卷主要包含了2　平面向量的数量积及其应用等内容，欢迎下载使用。
五年高考
考点1 平面向量数量积及夹角与模问题
1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=( )
A.5 B.3 C.25 D.5
4.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cs=( )
A.-45 B.−25 C.25 D.45
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cs α,sin α),P2(cs β,-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
A.|OP1|=|OP2|
B.|AP1|=|AP2|
C.OA·OP3=OP1·OP2
D.OA·OP1=OP2·OP3
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
考点2 平面向量数量积的应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
2.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
3.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
4.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
5.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
6.(2019课标Ⅲ理,13,5分,易)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cs= .
7.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b,用a,b表示DE= ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东潮州第四次测试,3)已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角的余弦值为( )
A.55 B.255
C.105 D.1010
2.(2024届广东六校联考,3)已知向量a=(-1,1),b=(m,2).若(a-b)⊥a,则m=( )
A.12 B.2
C.-2 D.0
3.(2024届福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|=( )
A.2 B.22 C.10 D.23
4.(2024届广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
5.(2023广东广州二模,3)已知两个非零向量a,b满足|a|=3|b|,(a+b)⊥b,则cs=( )
A.12 B.−12 C.13 D.−13
6.(2024届河北保定月考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),则a在b上的投影向量为( )
A.12b B.22b
C.32b D.322b
7.(2023山西大同二模,3)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则|a-2b|=( )
A.2 B.6
C.23 D.4
8.(2023福建福州八县期中联考,7)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs=( )
A.-57 B.−1935
C.1935 D.57
9.(2023山东聊城二模,4)在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=12AB=2,BD·AC=-6,则∠BAD的余弦值为( )
A.-12 B.−13
C.13 D.12
10.(2023山东淄博二模,4)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为( )
A.(-6,8) B.(6,-8)
C.−35,45 D.35,−45
11.(2024届湖北武昌实验中学月考,13)已知a=(-2,λ),b=(3,1),若(a+b)⊥b,则|a|= .
12.(2024届河北邢台名校期中联考,13)已知向量a与b的夹角为π3,|a|=3|b|=3,则|a-3b|= .
13.(2024届河北保定唐县一中月考,14)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 .
综合拔高练
1.(2023江苏苏北四市第二次联考,6)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=4,则|a+b+c|=( )
A.3 B.3或6 C.3或6 D.3或6
2.(2024届广东惠州模拟检测,6)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b),且向量b在向量a上的投影向量是14a,则向量a与b的夹角是( )
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
3.(2023山东潍坊一模)单位圆O:x2+y2=1上有两定点A(1,0),B(0,1)及两动点C,D,且OC·OD=12,则CA·CB+DA·DB的最大值是 ( )
A.2+6 B.2+23
C.6−2 D.23-2
4.(2024届浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则PA·PB的取值范围是( )
A.[2,6] B.[3,5]
C.[4,6] D.[15,35]
5.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,11)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数t,m−12n≤|m+tn|恒成立,则( )
A.m与n的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
C.|n-tm|的最小值为12
D.m在m+n上的投影向量为12(m+n)
(多选)(2024届广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中
∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是( )
A.若y=x,则x+y=23
B.若y=2x,则OA·OP=0
C.AB·PQ≥-2
D.PA·PB≥112
7.(2023福建福州八县期中联考,15)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则MP·CP的最小值为 .
8.(2023河南郑州、开封重点中学联考,15)如图所示,△ABC是边长为8的等边三角形,点P为AC边上的一个动点,长度为6的线段EF的中点为点B,则PE·PF的取值范围是 .
9.(2024届湖南师大附中摸底考,16)在直角△ABC中,AB⊥AC,AC=3,AB=1,平面ABC内动点P满足CP=1,则AP·BP的最小值为 .
6.2 平面向量的数量积及其应用
五年高考
考点1 平面向量数量积及夹角与模问题
1.(2022全国乙理,3,5分,易)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案 C
2.(2022全国乙文,3,5分,易)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
3.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=( )
A.5 B.3 C.25 D.5
答案 B
4.(2023全国甲理,4,5分,中)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,则cs=( )
A.-45 B.−25 C.25 D.45
答案 D
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分,中)已知O为坐标原点,点P1(cs α,sin α),P2(cs β,-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
A.|OP1|=|OP2|
B.|AP1|=|AP2|
C.OA·OP3=OP1·OP2
D.OA·OP1=OP2·OP3
答案 AC
6.(2023新课标Ⅱ,13,5分,易)已知向量a,b满足|a-b|=3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
答案 3
7.(2021新高考Ⅱ,15,5分,易)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
答案 -92
考点2 平面向量数量积的应用
1.(2023新课标Ⅰ,3,5分,易)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1
C.λμ=1 D.λμ=-1
答案 D
2.(2020课标Ⅱ文,5,5分,易)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
答案 D
3.(2022新高考Ⅱ,4,5分,易)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C
4.(2020新高考Ⅰ,7,5分,中)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
5.(2022北京,10,4分,中)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
答案 D
6.(2019课标Ⅲ理,13,5分,易)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cs= .
答案 23
7.(2022天津,14,5分,中)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足CB=2BE.记CA=a,CB=b,用a,b表示DE= ;若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 .
答案 -12a+32b;π6(或30°)
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东潮州第四次测试,3)已知向量a,b满足|a|=2,b=(1,3),且a·b=4,则向量a,b夹角的余弦值为( )
A.55 B.255
C.105 D.1010
答案 C
2.(2024届广东六校联考,3)已知向量a=(-1,1),b=(m,2).若(a-b)⊥a,则m=( )
A.12 B.2
C.-2 D.0
答案 D
3.(2024届福建漳州第一次教学质检,4)已知向量a=(-1,1),b=(2,x),若a⊥b,则|a-b|=( )
A.2 B.22 C.10 D.23
答案 C
4.(2024届广东深圳罗湖开学模考,3)已知向量a,b满足a⊥(a+4b),b⊥(a+3b),则向量a,b的夹角为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
答案 D
5.(2023广东广州二模,3)已知两个非零向量a,b满足|a|=3|b|,(a+b)⊥b,则cs=( )
A.12 B.−12 C.13 D.−13
答案 D
6.(2024届河北保定月考,3)已知向量a=(1,2),b=(1,1),则a在b上的投影向量为( )
A.12b B.22b
C.32b D.322b
答案 C
7.(2023山西大同二模,3)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则|a-2b|=( )
A.2 B.6
C.23 D.4
答案 A
8.(2023福建福州八县期中联考,7)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cs=( )
A.-57 B.−1935
C.1935 D.57
答案 D
9.(2023山东聊城二模,4)在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=CD=12AB=2,BD·AC=-6,则∠BAD的余弦值为( )
A.-12 B.−13
C.13 D.12
答案 D
10.(2023山东淄博二模,4)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为( )
A.(-6,8) B.(6,-8)
C.−35,45 D.35,−45
答案 D
11.(2024届湖北武昌实验中学月考,13)已知a=(-2,λ),b=(3,1),若(a+b)⊥b,则|a|= .
答案 25
12.(2024届河北邢台名校期中联考,13)已知向量a与b的夹角为π3,|a|=3|b|=3,则|a-3b|= .
答案 3
13.(2024届河北保定唐县一中月考,14)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 .
答案 π3
综合拔高练
1.(2023江苏苏北四市第二次联考,6)若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=4,则|a+b+c|=( )
A.3 B.3或6 C.3或6 D.3或6
答案 C
2.(2024届广东惠州模拟检测,6)已知非零向量a,b满足(a+2b)⊥(a-2b),且向量b在向量a上的投影向量是14a,则向量a与b的夹角是( )
A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3
答案 B
3.(2023山东潍坊一模)单位圆O:x2+y2=1上有两定点A(1,0),B(0,1)及两动点C,D,且OC·OD=12,则CA·CB+DA·DB的最大值是 ( )
A.2+6 B.2+23
C.6−2 D.23-2
答案 A
4.(2024届浙江杭州二中第一次月考,5)在平面直角坐标系xOy中,已知P(3,4),长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上,则PA·PB的取值范围是( )
A.[2,6] B.[3,5]
C.[4,6] D.[15,35]
答案 D
5.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,11)平面向量m,n满足|m|=|n|=1,对任意的实数t,m−12n≤|m+tn|恒成立,则( )
A.m与n的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
C.|n-tm|的最小值为12
D.m在m+n上的投影向量为12(m+n)
答案 AD
(多选)(2024届广东深圳阶段测试,10)重庆荣昌折扇是中国名扇之一,其精雅宜士人,其华灿宜艳女,深受各界人士喜爱.古人曾有诗赞曰:“开合清风纸半张,随机舒卷岂寻常;金环并束龙腰细,玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图中的扇形COD,其中
∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD上(含端点),连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q,且OQ=xOC+yOD,则下列说法正确的是( )
A.若y=x,则x+y=23
B.若y=2x,则OA·OP=0
C.AB·PQ≥-2
D.PA·PB≥112
答案 ABD
7.(2023福建福州八县期中联考,15)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则MP·CP的最小值为 .
答案 -92
8.(2023河南郑州、开封重点中学联考,15)如图所示,△ABC是边长为8的等边三角形,点P为AC边上的一个动点,长度为6的线段EF的中点为点B,则PE·PF的取值范围是 .
答案 [39,55]
9.(2024届湖南师大附中摸底考,16)在直角△ABC中,AB⊥AC,AC=3,AB=1,平面ABC内动点P满足CP=1,则AP·BP的最小值为 .
答案 4-13