8.2　空间点、线、面的位置关系（含答案）-【五年高考·三年模拟】2025年新教材高考数学一轮基础练习（含答案）

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五年高考
考点 空间点、线、面的位置关系
1.(2019上海春,15,5分,中)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足:a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( )
A.两两垂直 B.两两平行
C.两两相交 D.两两异面
2.(2018课标Ⅱ理,9,5分,中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.15 B.56 C.55 D.22
3.(2018课标Ⅰ理,12, 5分,难)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.334 B.233 C.324 D.32
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
5.(2023全国甲理,15,5分,难)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
6.(2020新高考Ⅰ,16,5分,难)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
三年模拟
综合基础练
1.(2024届河南焦作博爱第一中学月考,4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β,l∥α
B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥β
D.α与β相交,且交线垂直于l
2.(2023江西九江二模,5)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC1的中点,则直线DM与A1C的位置关系是( )
A.异面垂直 B.共面垂直
C.异面不垂直 D.相交不垂直
3.(2023广东汕头二模,7)已知α,β,γ是三个平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是( )
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
(2023安徽“江南十校”3月一模)安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑,其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中,点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l,则直线l与直线AD1所成角为( )
A.π3 B.π6 C.π4 D.π2
5.(多选)(2024届山西大同一中月考,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
综合拔高练
1.(2023河南新乡三模,9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则该截面多边形的周长为( )
A.32+25 B.22+5+3
C.92 D.22+25+2
2.(2023内蒙古赤峰二模,11)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1与棱AA1交于点F,给出下列命题:
①四棱锥B1-BED1F的体积恒为定值;
②四边形BED1F是平行四边形;
③当截面四边形BED1F的周长取得最小值时,满足条件的点E至少有两个;
④直线D1E与直线DC交于点P,直线D1F与直线DA交于点Q,则P、B、Q三点共线.
其中真命题是( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
3.(多选)(2024届广东深圳实验中学等五校期中联考,10)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为CC1,B1C1的中点,点P为棱A1D1上的动点,则( )
A.在平面CBP内不存在与平面AB1D1垂直的直线
B.三棱锥A-PCD的体积为定值
C.A1F∥平面AED1
D.过A1,F,E三点所确定的截面为梯形
4.(2023山西运城二模,15)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AB的中点,BC1与B1C交于点E,若AB=AA1,则CD与A1E所成角的余弦值为 .
5.(2024届山西大同一中月考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E,F分别在棱D1A1,D1C1上,且满足D1ED1A1=D1FD1C1=13,O为底面ABCD的中心,过E,F,O作截面,则所得截面的面积为 .
6.(2023贵州六校联盟联考(四),19)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AD,CC1的中点.
(1)已知点G满足DD1=4DG,求证:B,E,G,F四点共面;
(2)求点C1到平面BEF的距离.
8.2 空间点、线、面的位置关系
五年高考
考点 空间点、线、面的位置关系
1.(2019上海春,15,5分,中)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足:a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系( )
A.两两垂直 B.两两平行
C.两两相交 D.两两异面
答案 B
2.(2018课标Ⅱ理,9,5分,中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.15 B.56 C.55 D.22
答案 C
3.(2018课标Ⅰ理,12, 5分,难)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.334 B.233 C.324 D.32
答案 A
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
答案 BD
5.(2023全国甲理,15,5分,难)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
答案 12
6.(2020新高考Ⅰ,16,5分,难)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
答案 2π2
三年模拟
综合基础练
1.(2024届河南焦作博爱第一中学月考,4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.α∥β,l∥α
B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥β
D.α与β相交,且交线垂直于l
答案 B
2.(2023江西九江二模,5)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC1的中点,则直线DM与A1C的位置关系是( )
A.异面垂直 B.共面垂直
C.异面不垂直 D.相交不垂直
答案 B
3.(2023广东汕头二模,7)已知α,β,γ是三个平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是( )
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
答案 C
(2023安徽“江南十校”3月一模)安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑,其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中,点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l,则直线l与直线AD1所成角为( )
A.π3 B.π6 C.π4 D.π2
答案 A
5.(多选)(2024届山西大同一中月考,9)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
答案 ABC
综合拔高练
1.(2023河南新乡三模,9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则该截面多边形的周长为( )
A.32+25 B.22+5+3
C.92 D.22+25+2
答案 A
2.(2023内蒙古赤峰二模,11)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1与棱AA1交于点F,给出下列命题:
①四棱锥B1-BED1F的体积恒为定值;
②四边形BED1F是平行四边形;
③当截面四边形BED1F的周长取得最小值时,满足条件的点E至少有两个;
④直线D1E与直线DC交于点P,直线D1F与直线DA交于点Q,则P、B、Q三点共线.
其中真命题是( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
答案 C
3.(多选)(2024届广东深圳实验中学等五校期中联考,10)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为CC1,B1C1的中点,点P为棱A1D1上的动点,则( )
A.在平面CBP内不存在与平面AB1D1垂直的直线
B.三棱锥A-PCD的体积为定值
C.A1F∥平面AED1
D.过A1,F,E三点所确定的截面为梯形
答案 BCD
4.(2023山西运城二模,15)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AB的中点,BC1与B1C交于点E,若AB=AA1,则CD与A1E所成角的余弦值为 .
答案 34
5.(2024届山西大同一中月考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E,F分别在棱D1A1,D1C1上,且满足D1ED1A1=D1FD1C1=13,O为底面ABCD的中心,过E,F,O作截面,则所得截面的面积为 .
答案 222
6.(2023贵州六校联盟联考(四),19)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为AD,CC1的中点.
(1)已知点G满足DD1=4DG,求证:B,E,G,F四点共面;
(2)求点C1到平面BEF的距离.
解析 (1)证明:如图,取DD1的中点H,连接AH,HF,EG,因为HF?CD,CD?AB,所以AB?HF,所以四边形ABFH是平行四边形,所以BF∥AH.
在△AHD中,EG为中位线,故EG∥AH,所以EG∥BF,故B,E,G,F四点共面.
(2)连接EC1.设C1到平面BEF的距离为h,由题意知点E到平面BCC1B1的距离为AB=2,
在△BEF中,BE=BF=5,EF=6,故S△BEF=212.
易得S△BC1F=1,由VC1−BEF=VE−BC1F,
得13S△BEF·ℎ=13S△BC1F·2,解得h=42121.
故C1到平面BEF的距离为42121.