广东省广州市天天向上联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷[解析版]

这是一份广东省广州市天天向上联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷[解析版]，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，又，
所以.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，.
故选：C.
3. 下列函数中，既是偶函数又在0，+∞上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选项错误；
对于是偶函数，但是0，+∞是减函数，选项B错误；
对于是奇函数，选项C错误；
对于的定义域为，满足，
是偶函数，且在0，+∞是递增的，选项D正确.
故选：D.
4. 给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求；
B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确；
CD选项，对于，不妨设，此时，解得，
故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误.
故选：B.
5. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为“不等式在上恒成立”，
所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，
故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，
故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为且，所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.
故选：A.
7. 定义在0，+∞上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，
即，
所以在0，+∞上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故选：A.
8. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数，则函数在上为增函数，
因为对均有成立，
则，即对恒成立，
令，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 若且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】对于AB，因为，所以，，故AB正确；
对于C，，
当时，，此时，故C错误；
对于D，因为，所以，又，所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知或，则或x≥4
C. 如果，那么
D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则
【答案】BCD
【解析】根据差集定义即为且，
由，可得，所以A错误；
由定义可得即为且，
由或，可知或x≥4，
即B正确；
若，那么对于任意，都满足，所以且，
因此，所以C正确；
易知且在图中表示的区域可表示为，也即，
可得，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 关于的方程有个不同的解
C. 在上单调递减
D. 当时，恒成立.
【答案】ACD
【解析】选项A：，判断正确；
选项B：画出部分图像如下：
当时，由，可得或，
由，可得或；由，可得，
即当时，由可得3个不同的解，不是5个，判断错误；
选项C：当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，，
若即，则，
则，为减函数；
当时，，
若即，则，
则，为减函数；
综上，在上单调递减，判断正确；
选项D：当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像如下：
等价于，即，而恒成立，判断正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的定义域为____________．
【答案】
【解析】的定义域满足且，解得且.
13 已知幂函数单调递减，则实数_________.
【答案】
【解析】因为幂函数单调递减，所以，解得.
14. 已知，若对一切实数，均有，则___.
【答案】
【解析】由对一切实数，均有，可知，
即，解之得，
则，满足，
故.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范围．
解：（1）因为，
或，
或，
所以或，
或.
（2）当时，显然，此时，即；
当时，由题意有或，解得，
综上，.
16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）求出当时，的解析式；
（2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；
（3）结合函数图象，求当时，函数的值域．
解：（1）依题意，设，则，
于是，
因为为R上的奇函数，因此，
所以当时，的解析式．
（2）由已知及（1）得函数的图象如下：
观察图象，得函数的单调递减区间为：．
（3）当时，由（1），（2）知，函数在上单调递减，
在上单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，
而当时，有，
所以，当时，函数的值域为.
17. 已知函数为奇函数，其中为常数．
（1）求的解析式和定义域；
（2）若不等式成立，求实数的取值范围．
解：（1）由分式的定义可知即，
又因为为奇函数，，
所以，解得，
所以，定义域为.
（2）因为，
当时，，且单调递增，所以单调递减，
若不等式成立，则，即，
解得.
18. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
（1）求a的值；
（2）若交通流量，求道路密度x的取值范围；
（3）求车辆密度q的最大值．
解：（1）依题意，，即，故正数，所以，a的值为.
（2）当时，单调递减，F最大为，
故的解集为空集；
当时，由，解得，即，
所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．
（3）依题意，，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，q取得最大值．
因为，所以车辆密度q的最大值为．
19. 若存在常数k，b使得函数与在给定区间上任意实数都有，则称是与的隔离直线函数．已知函数．
（1）证明：函数在区间上单调递增．
（2）当时，与是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．
解：（1）任取，不妨设，
则
，
由，则，，
故，即，
故函数在区间上单调递增．
（2）当时，y=fx与y=gx存在隔离直线函数；
令，即，
即，即，
即，解得或，
由于，故舍去；
当时，，即有公共点，
设y=fx与y=gx存在隔离直线函数，
则点在隔离直线函数上，则，即，
则；
若当时有，即，
则上恒成立，即，
由于，故此时只有时上式才成立，则，
下面证明，令，
即，故，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即为y=fx与y=gx的隔离直线函数.