2025北京市北理工附中高二上学期10月月考数学试题含解析

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班级______姓名______学号______
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 已知点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A B. C. D.
2. 已知向量，，且，那么（ ）
A. B. 6C. 9D. 18
3. 如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥侧棱长为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
6. 已知是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若则；
②若则；
③若则；
④若是异面直线，则．其中真命题是（ ）
A. ①和②B. ①和③C. ③和④D. ①和④
7. 在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，平行六面体中，，，则（ ）
A. 1B. C. 9D. 3
9. 如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点.且，则动点的轨迹长度为（ ）
A. 5B. C. D.
10. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上，下列结论中不正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积的最大值为
B. 点到平面的距离为
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 的最小值为
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）
11. 已知向量，，若，则______.
12. 已知正方体的棱长为，则点到直线的距离为______.
13. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

14. 在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面ABC，．M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．
15. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________．
①直线平面
②三棱锥体积为定值
③异面直线AP与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，中点.
（1）求证：平面；
（2）若，平面，求证：平面.
17. 如图，在直三棱柱中，，、分别为、的中点，.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将△沿折起到△位置，使得（如图2）.
（1）求证：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.