江苏省常州市2024-2025学年高三上学期期中质量调研数学试题

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z满足，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
4．有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数．教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同．则这5名同学的可能排名有（ ）
A．42种 B．72种 C．78种 D．120种
5．已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最小正周期为T．若，且曲线关于点中心对称，则（ ）
A． B． C． D．
T．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（，且）．，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知平面内两个单位向量的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的取值范围为
C．若，则 D．在上的投影向量为
10．甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案．设每局比赛甲获胜的概率为，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（ ）
A．若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是
B．若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是
C．若，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大
D．若，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3
11．已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若4为函数的极小值点，则
C．若在内有最小值，则b的取值范围是
D．若有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知正数x，y满足，则xy的最小值为__________．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点，将线段OP绕原点O按顺时针方向旋转至线段．若，则点的纵坐标为__________．
14．已知一个母线长为1，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器的球的体积最大时，________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：
（1）求y关于x的经验回归方程；
（2）请估计时，对应的y值．
附：在经验回归方程中，，其中为样本平均值．
16．（15分）
在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知．
（1）求点的值；
（2）若，求的面积．
17．（15分）
某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验．先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程．
（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望；
（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率．
18．（17分）
已知函数是定义域为R的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）若，都有，求实数m的最小值．
19．（17分）
如图，在四棱柱中，已知底面ABCD，，，点E是线段上的动点．
（1）求证：平面；
（2）求直线AB与所成角的余弦值的最大值；
（3）在线段上是否存在与B不重合的点E，使得二面角的正弦值为﹖若存在，求线段BE的长；若不存在，请说明理由． x
2
3
4
5
6
y
4
7
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14