湖南省衡阳市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省衡阳市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|lg2x≤1}，B={y|y=2x,x≤2}，则( )
A. A∪B=BB. A∪B=AC. A∩B=BD. A∪(∁RB)=R
2.椭圆x2a2+y2=1(a>1)的离心率为12，则a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 2
3.已知直线m：(a−2)x+ay−2=0和直线n：x+3ay+1=0，则“a=73”是“m//n”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在平面直角坐标系xOy中，若满足x(x−k)≤y(k−y)的点(x,y)都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是( )
A. − 2≤k≤2 2B. − 2≤k≤ 2
C. −2 2≤k≤ 2D. [− 2,0)∪(0, 2]
5.已知向量a与b是非零向量，且满足a−b在b上的投影向量为−2b,|a|=2|b|，则a与b的夹角为( )
A. 120∘B. 150∘C. 60∘D. 90∘
6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1，左焦点为F2，若椭圆上存在一点P，满足线段PF1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF1的中点，则该椭圆的离心率为( )
A. 53B. 23C. 22D. 59
7.已知等边△ABC的边长为 3，P为△ABC所在平面内的动点，且|PA|=1，则PB⋅PC的取值范围是( )
A. [−32,92]B. [−12,112]C. [1,4]D. [1,7]
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，设P是棱CC1的中点，Q是线段C1P上的动点(含端点)，M是正方形BCC1B1内(含边界)的动点，且A1M//平面D1AP，则下列结论正确的是( )
A. 存在满足条件的点M，使A1M⊥AD1
B. 当点Q在线段C1P上移动时，必存在点M，使A1M⊥BQ
C. 三棱锥C1−A1PM的体积存在最大值和最小值
D. 直线A1M与平面BCC1B1所成角的余弦值的取值范围是[13,12]
9.关于方程mx2+ny2=1，下列说法正确的是( )
A. 若m>n>0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则该方程表示圆，其半径为 n
C. 若n>m>0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D. 若m=0，n>0，则该方程表示两条直线
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知O(0,0)，A(2,0)，点P满足PAPO= 2，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是( )
A. 圆C的方程是(x+2)2+y2=9
B. 过点A且斜率为12的直线被圆C截得的弦长为4 305
C. 圆C与圆(x−1)2+(y−4)2=8有四条公切线
D. 过点A作直线1，若圆C上恰有三个点到直线l距离为 2，该直线斜率为± 77
11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C交于P，Q两点，若|F2Q|：|PQ|：|F1Q|=1：4：5，则( )
A. PF1⊥PF2B. △QF1F2的面积等于a26
C. 直线l的斜率为 22D. C的离心率等于 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个圆柱底面半径为2，轴截面对角线为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为______.
13.设直线l1：x+3y−7=0与直线l2：x−y+1=0的交点为P，则P到直线l：x+ay+2−a=0的距离的最大值为______.
14.设I、G分别是△ABC(AB≠AC)的内心和重心，若GI⊥BC于F，则以B、C为焦点且过点A的椭圆的离心率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知圆C1是以点(0,0)和点(2,0)为直径端点的圆，圆C2是以点(0,0)和点(0,2)为直径端点的圆.(1)求圆C1，C2的方程；
(2)已知两圆相交于A、B两点，求直线AB的方程及公共弦|AB|的长.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a+b+c)(a+b−c)−3ab=0.
(Ⅰ)求C；
(Ⅱ)若C0)的左、右顶点为A(−2,0)，B(2,0)，焦距为2 3.O为坐标原点，过点O、B的圆G交直线x=1于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆E于P、Q.
(1)求椭圆E的方程；
(2)记直线AM，AN的斜率分别为k1、k2，求k1⋅k2的值；
(3)证明：直线PQ过定点，并求该定点坐标.
19.(本小题17分)
已知f(x)=ax2+bx+2，x∈R.定义点集A与y=f(x)的图象的公共点为A在f(x)上的截点.
(1)若b=−1，L={(x,y)|y=3,x∈R}，L在f(x)上的截点个数为0，求实数a的取值范围；
(2)若a=1，S={(x,y)|y=2,x∈(0,2)}，S在f(x)+|x2−1|上的截点为(x1,2)与(x2,2).
(ⅰ)求实数b的取值范围；
(ⅱ)证明：20，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，即y=± nn，
此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
故选：ACD.
AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为x2+y2=1n，得到B错误；D选项，化为y=± nn，故D正确．
本题考查椭圆、圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，在平面直角坐标系xOy中，O(0,0)，A(2,0)，点P满足PAPO= 2，
设P(x,y)，则 (x−2)2+y2 x2+y2= 2，
化简可得圆C的方程为(x+2)2+y2=8，故A错误；
对于B，过点A且斜率为12的直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0，
由A可知圆C的方程为(x+2)2+y2=8，圆心C(−2,0)，半径r=2 2，
∴圆心C到直线的距离d=|−2−2| 1+4=4 55，
∴直线被圆C截得的弦长为2 r2−d2=2 8−165=4 305，故B正确；
对于C，圆(x−1)2+(y−4)2=8的圆心设为D，半径设为R，则D(1,4)，R=2 2，
∴0=r−R