2023-2024学年陕西省西安八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列实数中，属于无理数的是( )
A. 43B. 7C. 3.14D. 4
2.以下四组数中，是勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 12，13，4C. 8，15，17D. 4，5，6
3.在如图所示的直角坐标系中，△ABC的面积为2，三个顶点的坐标分别为A(−3,−2)，B(−1,−1)，C(a,b)，a、b均为负整数，在图中的网格中，满足条件的点C坐标有
( )
A. 3个
B. 4个
C. 6个
D. 7个
4.已知点M(3,−4)，那么点M到x轴的距离( )
A. 3B. 4C. −4D. 5
5.满足− 2A. −3B. −2C. 2D. 3
6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，若S1=5，S2=13，则BC=( )
A. 8
B. 2 2
C. 18
D. 3 2
7.如图，输入m=2 2，则输出的数为( )
A. 8B. 16C. 32D. 64
8.平面直角坐标系内AB/​/x轴，AB=1，点A的坐标为(−2,3)，则点B的坐标为( )
A. (−1,4)B. (−1,3)
C. (−3,3)或(−1,−2)D. (−1,3)或(−3,3)
9.如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为厘米．( )
A. 8B. 10C. 12D. 13
10.对于整数n，定义[ n]为不大于 n的最大整数，例如：[ 3]=1，[ 4]=2，[ 5]=2.对72进行如下操作：72→第一次[ 72]=8→第二次[ 8]=2→第三次[ 2]=1，即对72进行3次操作后变为1，对整数m进行3次操作后变为2，则m的最大值为( )
A. 80B. 6400C. 6560D. 6561
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.比较大小：−2 ______ − 3．
12. 81的算术平方根是______ ．
13.有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为(1,2)，(1,3)，(2,3)，(5,1)，请你把这个英文单词写出来或者翻译成中文______ ．
14.将如图所示的矩形纸片(每个小正方形的边长为1)，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是______．
15.已知a，b满足等式a2+6a+9+ b−13=0，则a2023b2022= ______ ．
16.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题12.0分)
计算：
(1)2 2−3 3+5 3−3 2；
(2)( 3+2)( 3−2)；
(3)( 48+ 12− 13)÷ 3；
(4)( 2− 3)2+2 13×3 2．
18.(本小题6.0分)
求下列各式中x的值：
(1)x2−2516=0；
(2)64x3+27=0．
19.(本小题5.0分)
作图题：在数轴上作出表示 10的点．(保留作图痕迹，不写作法，但要作答)
20.(本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点是点A1，B1，C1．
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点是点A2，B2，C2，并写出顶点A2，B2，C2的坐标．
(3)求出△A2B2C2的面积．
21.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，点D为△ABC内一点，且∠BDC=90°，CD=2，BD=AC．
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
22.(本小题12.0分)
思维启迪：
(1)如图1，点P是线段AB，CD的中点，则AC与BD的数量关系为______，位置关系为______；
思维探索：
(2)①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE=CD，连接AE，若BD⊥AE，请用等式表示AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上(点E不与点B，点D重合)，连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD.若AF=8，CF=3，请直接写出FD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、43是有理数，不合题意；
B、 7是无理数，符合题意；
C、3.14是有理数，不合题意；
D、 4=2，是有理数，不合题意；
故选：B．
无理数它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数，进而判断即可．
此题主要考查了无理数，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+22≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、42+122≠132，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、82+152=172，是勾股数，故本选项符合题意；
D、42+52≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意；
故选：C．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数．
3.【答案】A
【解析】[分析]
根据三角形有一边与坐标轴平行和三边都不与坐标轴平行进行分析，依据三角形的面积和每一种情况中底边长或高，求出三角形的高或底边长，即可求出点C的坐标．
本题主要考查利用三角形的面积求点的坐标，能根据题意分类讨论是解题的关键．
[详解]
解：
分以下几种情况分析：
①当AC//y轴时，高ℎ=2，S△ABC=12AC·ℎ=AC=2，则C1−3,−4．
②当AC//x轴时，高ℎ=1，S△ABC=12AC·ℎ=12AC=2⇒AC=4，由图可知，无满足题意的点C．
③当BC//y轴时，高ℎ=2，S△ABC=12BC·ℎ=BC=2，则C2−1,−3．
④当BC//x轴时，高ℎ=1，S△ABC=12BC·ℎ=12BC=2⇒BC=4，则C3−5,−1．
⑤当△ABC三边与坐标轴都不平行时，易知直线l上所有点与A，B形成的三角形的面积都为2，但从图中可以看出，直线l上除C1,C2外没有经过其他格点．
综上所述，满足题意的点C有三个，它们的坐标分别为：C1−3,−4，C2−1,−3，C3−5,−1．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：∵M(3,−4)，
∴点M到x轴的距离为|−4|=4．
故选：B．
根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值求解即可．
本题考查了点的坐标，关键是掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
5.【答案】C
【解析】解：∵−2<− 2<−1<2< 5<3，
∴整数x可以是−1，0，1，2，
故选：C．
分别估算出− 2和 5在哪两个连续整数之间后即可求得答案．
本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由勾股定理得，
BC= AB2−AC2，
∵S1=5，S2=13，
即AC2=5，AB2=13，
∴BC= 13−5=2 2，
故选：B．
根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵m=2 2时，m2=(2 2)2=8<10，
∴ 2×8=4，再输入4，
42=16>10，
∴输出的数是16．
故选：B．
把m=2 2代入程序进行计算即可．
本题考查的是算术平方根，根据题意弄懂输入程序是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵AB/​/x轴，
∴A点与B点纵坐标相同，横坐标之差等于其距离，且AB=1，
B点横坐标为−2+1=−1，或−2−1=−3，
故B点坐标为：(−1,3)或(−3,3)，
故选：D．
根据平行于横轴上的点纵坐标相等分析计算即可．
本题考查平行于坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图所示：
∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．
∴PA=4+2+4+2=12(cm)，QA=5cm，
∴PQ= PA2+AQ2=13cm．
故选：D．
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题的是平面展开−最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
10.【答案】C
【解析】解：∵[ 6560]=80，[ 80]=8，[ 8]=2，
∴对6560只需进行3次操作后变为2，
∵[ 6561]=81，[ 81]=9，[ 9]=3，
∴只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560，
∴m的最大值为6560．
故选：C．
由[ n]的定义为不大于 n的最大整数，6560进行3次操作后变为2，6561进行3次操作后变为3，据此可得出m的最大值．
本题本题考查了估算无理数的大小，[ n]的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．
11.【答案】<
【解析】解：因为 4=2， 4> 3，
∴− 4<− 3，即−2<− 3．
故答案为：<．
先比较2与 3，再比较−2与− 3．
本题考查了实数大小的比较，掌握实数大小比较的方法是解决本题的关键．
12.【答案】3
【解析】解： 81=9，算术平方根是3．
故答案为：3．
根据算术平方根的定义求解即可求得答案．
此题考查了算术平方根的定义．此题比较简单，注意熟记定义是解此题的关键．
13.【答案】HOPE或希望
【解析】解：由题意知(1,2)表示H，(1,3)表示O，(2,3)表示P，(5,1)E，
所以这个英文单词为HOPE或希望，
故答案为：HOPE或希望．
根据有序数对的定义，分别找出各个有序数对表示的字母，然后写出单词即可．
本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解有序数对与表格的对应关系是解题的关键．
14.【答案】 10
【解析】解：由题意可知：
矩形的面积为10，
∵拼成的正方形的面积与矩形的面积相等，
∴拼成的正方形的面积为10，
∴正方形的边长是 10，
故答案为： 10．
先求出矩形的面积为10，再根据拼成的正方形的面积与矩形的面积相等即可求解．
本题主要考查了算术平方根，理解题意掌握算术平方根的定义是解题的关键．
15.【答案】−3
【解析】解：∵a2+6a+9+ b−13=0，
∴(a+3)2+ b−13=0．
∵(a+3)2≥0， b−13≥0，
∴当(a+3)2+ b−13=0时，(a+3)2=0， b−13=0．
∴a=−3，b=13．
∴a2023b2022=(ab)2022⋅a=1×(−3)=−3．
故答案为：−3．
根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方解决此题．
本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方是解决本题的关键．
16.【答案】32或3
【解析】【分析】
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【解答】
解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC= 42+32=5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5−3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4−x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=(4−x)2，解得x=32，
∴BE=32；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时四边形ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为32或3．
故答案为：32或3．
17.【答案】解：(1)2 2−3 3+5 3−3 2
=(2 2−3 2)+(−3 3+5 3)
=− 2+2 3；
(2)( 3+2)( 3−2)
=( 3)2−22
=3−4
=−1；
(3)( 48+ 12− 13)÷ 3
=(4 3+2 3−13 3)÷ 3
=173 3÷ 3
=173；
(4)( 2− 3)2+2 13×3 2
=( 2)2−2× 2× 3+( 3)2+6 13×2
=2−2 6+3+2 6
=5．
【解析】(1)根据二次根式的加法和减法法则进行计算即可；
(2)先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可；
(3)先根据二次根式的加法法则算括号里面的，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；
(4)先根据完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)方程整理得：x2=2516，
开方得：x1=54，x2=−54；
(2)方程整理得：x3=−2764，
开立方得：x=−34．
【解析】(1)方程整理后，开方即可求出解；
(2)方程开立方即可求出解．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
19.【答案】解：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 10．

【解析】能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数．
因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是 10．
再以原点为圆心，以 10为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；A2(1,−1)，B2(4,−2)，C2(4,−4)；
(3)△A2B2C2的面积为3×3−12×1×3−12×1×2−12×3×2=72．
【解析】(1)分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
(2)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
(3)利用割补法求解可得．
本题主要考查作图−轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
21.【答案】解：(1)∵∠BDC=90°，CD=2，BD=AC，AC=4，
∴BC= BD2+CD2= 42+22=2 5；
(2)∵AB=6，AC=4，BC=2 5，42+(2 5)2=62，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴S阴影=S△ABC−S△BCD
=12AC⋅BC−12CD⋅BD
=12×4×2 5−12×2×4
=4 5−4．
【解析】(1)直接根据勾股定理求出BC的长即可；
(2)先根据勾股定理判断出△ABC是直角三角形，再根据S阴影=S△ABC−S△BCD解答即可．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
22.【答案】AC=BD AC/​/BD
【解析】解：(1)结论：AC=BD，AC/​/BD．
理由：如图1中，∵点P是线段AB，CD的中点，
∴PA=PB，PD=PC，
在△PAC和△PBD中，
PA=PB∠APC=∠BPDPC=PD，
∴△PAC≌△PBD(SAS)，
∴AC=BD，∠A=∠B，
∴AC/​/BD．
故答案为：AC=BD，AC/​/BD．
(2)①结论：AB2=AE2+BD2．
理由：延长AC到T，使得CT=AC，连接ET，DT，BT．
∵CE=CD，AC=CT，
∴同法可证AE=DT，AE//DT，
∵BD⊥AE，
∴BD⊥DT，
∴∠TDB=90°，
∴BT2=DT2+BD2=AE2+BD2，
∵CB⊥AC，AC=CT，
∴BT=BA，
∴AB2=AE2+BD2；
②如图3中，延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J．
∵AD=DB，FD=DT，
∴同法可证AF=BT=8，AF//BT，
∵AF⊥CJ，
∴CJ⊥BT，
∴∠AFC=∠CJB=∠ACB=90°，
∵∠ACF+∠BCJ=90°，∠BCJ+∠CBJ=90°，
∴∠ACF=∠CBJ，
∵AC=CB，
∴△AFC≌△CJB(AAS)，
∴CF=BJ=3，AF=CJ，
∴CJ=BT=8，
∴FJ=JT=5，
∵∠FJT=90°，
∴FT= 2FJ=5 2，
∴DF=12FT=5 22．
(1)结论：AC=BD，AC//BD.证明△PAC≌△PBD(SAS)，可得结论；
(2)①结论：AB2=AE2+BD2.延长AC到T，使得CT=AC，连接ET，DT，BT.利用(1)中结论，以及勾股定理解决问题即可；
②如图3中，延长FD到T，使得DT=DF，连接BT，延长CE交BT于点J.利用(1)中结论，证明△TFJ是等腰直角三角形，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造熟悉的模型解决问题，属于中考压轴题．4
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