2023-2024学年江苏省九年级（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省九年级（上）第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）冬季某天我国三个城市的最高气温分别是﹣10℃，1℃，﹣7℃（ ）
A．11℃B．17℃C．8℃D．3℃
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2﹣＝2B．（a+1）2＝a2+1
C．（a2）3＝a5D．2a2•a＝2a3
3．（3分）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，则∠1+∠2＝（ ）
A．30°B．45°C．25°D．15°
4．（3分）如图，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，则DE等于（ ）
A．5B．6C．7D．9
5．（3分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0一定有实数根的是（ ）
A．a＞0B．a＝0C．c＞0D．c＝0
6．（3分）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB＝ACB．AC⊥BDC．AB＝ADD．AC＝BD
7．（3分）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
8．（3分）有一列按规律排列的数：20233202202332022023320220233202……，从左边第1个数开始将各位数字相加，加到第（ ），所得的和等于2023．
A．1156B．1157C．1158D．1154
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（3分）因式分解：x（x﹣3）﹣x+3＝ ．
11．（3分）地球赤道的周长约是4.021×107m，还原这个数据为 m．
12．（3分）五边形的外角和等于 °．
13．（3分）已知圆的半径为2cm，90°圆心角所对的弧长为 cm．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣10＝0的一个根是x＝2，则k＝ ．
15．（3分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，OB＝5，则BC的长为 ．
16．（3分）如图，点A在双曲线的第一象限的图象上，点C在x轴的正半轴上，且OC＝3AB，且AE＝3EC，点D为OB的中点，则k值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）.
17．（6分）计算：．
18．（6分）解分式方程：．
19．（8分）先化简（1﹣）÷，然后从﹣＜a
20．（8分）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示
（1）填空：20筐白菜中每筐白菜质量与标准质量差值的众数是 ，中位数是 ；
（2）求这20筐白菜的平均重量．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，以点B为圆心；以点A为圆心AD长为半径画弧，交AC于点E，并求的值．
22．（10分）已知抛物线：y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0）．
（1）请写出抛物线的对称轴：直线 ；
（2）a＝﹣1时，将该抛物线沿x轴翻折，得到新的抛物线对应的函数表达式是 ；
（3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值．
23．（8分）今年的中秋国庆节，处处洋溢着假期的欢乐氛围．某学校要举行“我为盐城美景代言”的宣讲活动，主要介绍盐城的重点景区，B．大纵湖，C．大洋湾，参加的选手从这四个主题中随机抽取一个进行宣讲，小明和小红都参加了这项活动．
（1）小明抽中D主题的概率是 ；
（2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小明和小红抽中同一个主题的概率．
24．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，且靠墙端离地高BC为4.4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC相切于点D，分别交AB，F．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BD＝5，，求⊙O的半径．
26．（14分）为增强民众生活幸福感，县政府大力推进老旧小区改造工程．电厂小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3.5倍时．
①求出x的取值范围；
②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
27．（14分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．等边△ABC的BC边延长线上有一动点D，连接AD，连接BE．
【初步感知】
（1）如图1，当D点不与C点重合时，兴趣小组探究得出结论：
①BE＝CD；
②∠DBE的度数是定值，请你写出他们的证明过程；
【深入探究】
（2）如图2，点F是线段AD的中点，连接CF
小明猜想：假设D点刚好和C点重合时，猜想出结论是： ；
小红也提出了自己的想法：因为题设中提到了中点，所以想到添加中点构造辅助线进行转化．如图3，是小红添加的辅助线，点H，点K分别是线段AC，AB的中点，请你帮她继续完成证明过程．
【拓展运用】
（3）在（2）的条件下，若等边△ABC的边长是3，CF的最小值是 ．（直接写出答案，无需证明）
参考答案与试题解析
一、选择题.（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据最大的温差＝最高气温﹣最低气温可得．
【解答】解：任意两城市中最大的温差是1﹣（﹣10）＝1+10＝11℃．
故选：A．
【点评】正负数是学习数学的最基础的知识，用正负数来表示天气温度是很平常又很典型的事情，体现数学的应用价值．本题找到最高气温和最低气温是解题的关键．
2．【分析】利用二次根式的减法的法则，完全平方公式，幂的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、（a+1）3＝a2+2a+3，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C不符合题意；
D、2a2•a＝6a3，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．【分析】先根据平行线的性质得∠1＝∠3，然后利用∠1+∠3＝45°求解．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3，
∵∠8+∠3＝45°，
∴∠1+∠3＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
4．【分析】根据平行线分线段成比例定理，得到DE、EF的关系，根据DF＝15，得到答案．
【解答】解：∵l1∥l2∥l7，，
∴＝＝，
∴，
∴DE＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
5．【分析】根据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．
【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣3ac＝16﹣4ac≥0，且a≠8，
∴ac≤4，且a≠0；
A、若a＞3、c＝5时，此选项错误；
B、a＝0不符合一元二次方程的定义；
C、若c＞2、c＝5时，此选项错误；
D、若c＝0，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、▱ABCD中，不能判定▱ABCD是矩形；
B、∵▱ABCD中，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵▱ABCD中，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵▱ABCD中，
∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
7．【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解答】解：A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝8；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
8．【分析】由题意得该组数的规律：每8个数的和为14，再通过2023÷14的结果进行求解．
【解答】解：由题意可得：该列数是以20233202，8个为一循环，
且2+2+2+3+6+2+0+3＝14，
∵2023÷14＝144……7，7＝5+0+2+8，
∴以8个数为一组，加到第145组的第4个数时，
∵144×3+4＝1156，
∴加到第1156个数字时，所得的和等于2023，
故选：A．
【点评】此题考查了数字规律问题的解决能力，关键是能准确发现并运用循环数组．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解答】解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥6，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10．【分析】原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝（x﹣8）（x﹣3），
故答案为：（x﹣1）（x﹣4）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，n的绝对值与小数点移动的位数相同，要还原变成原数，小数点向右移动7位即可．
【解答】解：4.021×107m还原成原数为40210000m．
故答案为：40210000．
【点评】此题考查科学记数法的应用，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，掌握小数点的移动方向和移动数位是关键．
12．【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．
【解答】解：五边形的外角和是360°．
故选B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
13．【分析】根据弧长公式l＝进行计算即可．
【解答】解：圆的半径为2cm，90°圆心角所对的弧长为：l＝，
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是解题的关键．注意：在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
14．【分析】把x＝2代入方程得出22+2k﹣10＝0，再求出方程的解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣10＝0的一个根是x＝3，
∴22+7k﹣10＝0，
解得k＝3，
故答案为：4．
【点评】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知识点，能熟记一元二次方程的解的定义是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
15．【分析】证明△AOM∽△ACD，可得CD＝4，AC＝10，由勾股定理可得AD，进而解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∵OM∥AB，
∴OM∥CD，
∴△AOM∽△ACD，
∴，且，OM＝8，
∴CD＝4，
在Rt△ADC中，，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求CD的长度是本题的关键．
16．【分析】由AE＝3EC，△ADE的面积为3，得到△CDE的面积为1，则△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则k＝ab，AB＝a，OC＝3AB＝3a，，利用S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC得，整理可得ab＝4，即可得到k的值．
【解答】解：连DC，如图，
∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，
∴△CDE的面积为4，
∴△ADC的面积为4，
设A点坐标为（a，b），OC＝3AB＝4a，
而点D为OB的中点，
∴，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴，
∴ab＝4，
把A（a，b）代入双曲线，
∴k＝ab＝4．
故答案为：5．
【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）.
17．【分析】分别根据绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣1+×+8
＝2+1+4
＝7．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解题的关键．
18．【分析】方程两边同乘x（x+3）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘x（x+3），去分母得：2（x+3）+x2＝x（x+3），
去括号得：8x+6+x2＝x6+3x，
移项，合并同类项得：x＝6，
检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，
所以，原分式方程的解为x＝4．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝，
由﹣＜a＜，﹣1，8，1，2，
当a＝4时，原式＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据白菜质量与标准质量差值的20个数据中出现次数最多的是众数即可得解；当数据的个数为偶数时，数据排序后中位数是中间两数的平均数计算得解即可；
（2）根据平均数的定即可．
【解答】解：（1）∵20筐白菜质量与标准质量差值中，2.5出现3次，
∴20筐白菜中每筐白菜质量与标准质量差值的众数是2.5；
∵当数据的个数为偶数时，数据排序后中位数是中间两数的平均数，
由表格得，中间两数分别为：4和1，
∴中位数是＝；
故答案为：2.5，3.5；
（2）20筐白菜的平均重量＝（千克），
故这20筐白菜的平均重量为25.4千克．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数的计算，掌握计算方法是解题的关键，属于基础题．
21．【分析】根据题意得出BD，AD的长，进而得出AE的长，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：由题意可得，BD＝BC＝1，
∵∠C＝90°，BC＝1，
∴AB＝＝，
∴AE＝AD＝﹣2，
∴＝．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理，正确得出AE的长是解题关键．
22．【分析】（1）化成顶点式，即可求解；
（2）根据关于x轴对称，函数值互为相反数，即可求解；
（3）根据题意，令顶点坐标的纵坐标为0，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax﹣3＝a（x﹣2）2﹣5a﹣3，
∴对称轴为直线x＝2，
故答案为：x＝4．
（2）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+5x﹣3，
∴该抛物线沿x轴翻折，得到新的抛物线对应的函数表达式是﹣y＝﹣x2+2x﹣3，即y＝x2﹣2x+3；
（3）∵y＝ax2﹣5ax﹣3（a≠0）抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．【分析】（1）直接由概率公式求解即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小红抽中同一个主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C，D四个主题，
∴小明抽中“D主题”的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小红抽中同一个主题的结果有4种，
∴小明和小红抽中同一个主题的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24．【分析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT＝AB•sin∠BAT＝1.4米，AT＝AB•cs∠BAT≈4.8米，得到CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝3米，根据∠ADK＝45°，得到DK＝AK＝3米，根据CD＝CK﹣DK计算即可．
【解答】解：如图，过A作AT⊥BC于T，
在Rt△ABT中，sin∠BAT＝，
∴BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.5（米），AT＝AB•cs∠BAT＝5×cs16°≈4.4（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝6.4﹣1.7＝3（米），
在Rt△AKD中，∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝3米，
∴CD＝CK﹣DK＝7.8﹣3＝8.8（米），
答：阴影CD的长约为1.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
25．【分析】（1）连接OD，则∠ODA＝∠BAD，由切线的性质得BC⊥OD，可证明OD∥AC，则∠ODA＝∠CAD，所以∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）连接DE，可证∠ODA+∠ODE＝90°，∠BDE+∠ODE＝90°，从而得到∠BDE＝∠ODA，即∠BDE＝∠OAD，可得△BED∽△BDA，所以，结合，即可求得AB，BE的长，从而求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图，
连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴BC⊥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：如图，连接DE，
∵AE是⊙O的直径，⊙O与BC相切于点D，
∴∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ODE＝90°，
∵∠BDE+∠ODE＝90°，
∴∠BDE＝∠ODA，
∴∠BDE＝∠OAD，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴，
∵BD＝4，
∴AB＝10，，
∴
∴⊙O的半径为．
【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．【分析】（1）分两种情况，用待定系数法求出y与x的函数关系式；
（2）①设甲种花卉种植面积为am2，根据甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3.5倍列出不等式组，解之即可；②根据总费用＝甲种花卉种植费用+乙种花卉种植费用，分两种情况列出函数关系式，求出最小值，再比较即可得答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30，
当40＜x≤100时，设y＝kx+b，
把（40，30），15）代入得：
，
解得：，
∴，
∴；
（2）①设甲种花卉种植面积为xm6，则乙种花卉种植面积为（360﹣x）m2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的6.5倍，
∴，
解得30≤x≤80，
②当30≤x≤40时，w＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
∵15＞0，
∴当x＝30时，w最小，
当40＜a≤80时，，
∵，对称轴为直线x＝50，
∴x＝80时，w取最小值（元），
∵5800＜5850，
∴当x＝80时，w取最小值，
此时360﹣x＝280，
答：甲种花卉种植面积为80m2，乙种花卉种植面积为280m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5800元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
27．【分析】（1）①根据等边三角形的性质，得出AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，进而可得∠BAE＝∠CAD，即可证明△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可得出结论；
②根据①的结论得出∠ABE＝∠ACD＝120°，进而根据等边三角形的性质，得出∠ABC＝60°，即可求解．
（2）①假设D点刚好和C点重合时，则BF⊥AD，根据等边三角形的性质，即可求解；
②如图3所示，点G，点H，点K分别是线段AC，AE，AB的中点，证明△FGC≌△HKG，根据三角形的中位线的性质，得出，即可得出结论；
（3）当CE⊥BE时，CE最小，而，则FC当EC最小时取得最小值，根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【解答】解：（1）①∵等边△ABC，△ADE，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
②∵△BAE≌△CAD，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠ABE＝∠ACD＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBE＝60°；
（2）①如图所示，假设D点刚好和C点重合时，
∴
故答案为：．
②如图3所示，点G，点K分别是线段AC，AB的中点，
∴，，KH∥BE，
又∵△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD，
∴KH＝GF，
∵∠DBE＝60°，KH∥BE，
∴∠GKH＝∠DBE＝60°，
又∵FG∥CD，
∴∠FGC＝∠ACB＝60°，
∴∠FGC＝∠HKG，
∴△FGC≌△HKG（SAS），
∴GH＝FC，
又∵G，H分别为AC，
∴
∴；
（3）由（1）②可得∠DBE＝60°，则E在射线BE上，
∴当CE⊥BE时，CE最小，而，
在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，则，
∴，
∴．
故CF的最小值是，
故答案为：．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．与标准质量的差值（千克）
﹣3
﹣2
﹣1.5
0
1
2.5
筐数
1
4
2
3
2
8