2023-2024学年辽宁省盘锦市双台子八年级（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年辽宁省盘锦市双台子八年级（上）月考数学试卷（10月份），共22页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各组线段，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cmB．5cm，6cm，10cm
C．1cm，1cm，3cmD．3cm，4cm，8cm
2．（3分）多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有（ ）
A．7条B．8条C．9条D．10条
3．（3分）两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ）
A．∠1与∠2B．∠2与∠3
C．∠1与∠3D．三个角都相等
4．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC（ ）
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD
5．（3分）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
6．（3分）下列图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣2，4）关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（3分）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（ ）
A．50°B．65°C．80°D．50°或80°
9．（3分）如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
10．（3分）如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DF⊥AB，垂足分别为E，F；②AD垂直平分EF；③EF一定平行BC；④＝（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，则∠P的度数为 ．
12．（3分）三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是 ．
13．（3分）如图所示，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D到AB的距离为6，则BC的长是 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣5，﹣3）向右平移8个单位长度得到点B ．
16．（3分）如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，又知AC＝18，△CDB的周长为28 ．
17．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
18．（3分）如图，点B的坐标为（4，4），作BA⊥x轴，垂足分别为A，C，点D为线段OA的中点，在线段AB、BC上沿A→B→C运动，当OP＝CD时 ．
三．计算与证明（共66分）
19．（8分）如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（3）△A1B1C1的面积为 ．
20．（8分）如图，经测量，B处在A处的南偏西57°的方向，C处在B处的北偏东82°方向，求∠C的度数．
21．（8分）如图所示，已知点A，F，E，C在同一直线上，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．求证：BE＝DF．
22．（8分）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，证明你的结论．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点D作AC的垂线，垂足为F，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此时PB+PC的值．
24．（12分）如图，CA＝CB，CD＝CE，AD、BE交于点H，连接CH．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：CH平分∠AHE；
（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）
25．（12分）已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1）；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA，CD之间等量关系；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案填在答题纸的表格中（每小题3分，共30分）
1．【分析】根据三角形的三边关系定理即可进行判断．
【解答】解：A、3+2＝2；
B、5+6＞10；
C、2+1＜3；
D、7+3＜8．
故选：B．
【点评】考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可．
2．【分析】多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条，即可求得对角线的条数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，
∴每个外角是30°，
∴多边形边数是360°÷30°＝12，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3＝9（条）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条．
3．【分析】书本的两组对边是两组平行线，根据对顶角相等，邻补角互补，以及三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：在直角△DEF与直角△FMP中，∠E＝∠M＝90°，
∴∠4＝∠FPM，
∴∠2＝∠7；
同理易证∠ANB＝∠CAE，而∠CAE与∠4不一定相等．
因而∠1与∠8不一定相等．
故图中相等的角是∠2与∠3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及对顶角、邻补角的性质．
4．【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C；
B、如添AD＝AE；
C、如添BD＝CE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE＝CD，不能证明△ABE≌△ACD．
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
5．【分析】标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠4，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：如图，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠4，
∵∠4+∠4＝90°，
∴∠1+∠8＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
6．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点（﹣2，4）关于x轴的对称点为，﹣3），
故（﹣2，﹣4）在第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
8．【分析】分两种情况：当50°角为等腰三角形的顶角时，可得出顶角的度数；当50°角为等腰三角形的底角时，可得两底角的度数，根据三角形的内角和定理可求出此时等腰三角形的顶角，综上，得到等腰三角形顶角的所有可能值．
【解答】解：分两种情况：
当50°角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角50°；
当50°角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180°﹣50°×2＝80°，
综上，等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了分类讨论的数学思想，是一道易错题．本题有两解，学生做题时注意不要漏解．
9．【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
10．【分析】设AD与EF相交于点G，先利用角平分线的性质可得DF＝DE，从而可得∠DFE＝∠DEF，再根据等式的性质可得∠AFE＝∠AEF，从而可得AF＝AE，进而可得AD是EF的垂直平分线，然后根据∠ADC≠∠AGF，可得EF不一定平行BC，再根据三角形的面积公式可得＝，即可解答．
【解答】解：设AD与EF相交于点G，
∵AD平分∠EAF，DE⊥AC，
∴DF＝DE，
∴∠DFE＝∠DEF，
∵∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠DFA＝∠DEA＝90°，
∴∠DFA﹣∠DFE＝∠DEA﹣∠DEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴∠AGF＝90°，
∵∠ADC≠∠AGF，
∴EF不一定平行BC，
∵△BFD的面积＝BF•DFCE•DE，
∴＝，
∴上面四个结论，其中正确的是①②④，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠ABF+∠AFB＝∠P+∠PCF+∠PFC＝180°推出∠P+∠PCF＝∠A+∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE＝∠PED，推出∠P+∠PBE＝∠PCD﹣∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A﹣∠D，代入即可求出∠P．
【解答】解：延长PC交BD于E，设AC，
∵∠A+∠ABF+∠AFB＝∠P+∠PCF+∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P+∠PCF＝∠A+∠ABF，
∵∠P+∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD﹣∠D，
∴∠P+∠PBE＝∠PCD﹣∠D，
∴2∠P+∠PCF+∠PBE＝∠A﹣∠D+∠ABF+∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A﹣∠D
∵∠A＝50°，∠D＝10°，
∴∠P＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
12．【分析】根据两边之和大于第三边进行求解即可．
【解答】解：由题意得：x＜5+8＝13，
∵x为最长边，
∴6≤x＜13；
故答案为：8≤x＜13．
【点评】本题考查是三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
13．【分析】延长AP交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP＝∠EBP，结合BP＝BP以及∠APB＝∠EPB＝90°即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP＝EP，根据三角形的面积即可得出S△APC＝S△EPC，再根据S△PBC＝S△BPE+S△EPC＝S△ABC即可得出结论．
【解答】解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝（cm2），
故答案为：cm2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，找出S△PBC＝S△ABC是解题的关键．
14．【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE＝6，根据角平分线定理得到DC＝DE＝6，再由BD：DC＝3：2可计算出BD＝9，然后利用BC＝BD+DC进行计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，则DE＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴DC＝DE＝6，
∵BD：DC＝5：2，
∴BD＝×6＝9，
∴BC＝BD+DC＝4+6＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．【分析】根据点的平移规律可得点B的坐标，然后再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：根据题意知点B的坐标为（﹣5+8，﹣5），﹣3），
所以点B关于y轴的对称点C的坐标是（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣3）．
【点评】此题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
16．【分析】由已知易得CD＝BC，AD＝BD，则AC＝CD+BD＝18，所以BC＝28﹣18＝10，则CD＝10，即可求得BD．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，且CE⊥DB，
∴CD＝BC，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴AD＝BD，
∵AC＝CD+AD＝18，
∴AC＝CD+BD＝18，
∴BC＝△BCD的周长﹣AC＝28﹣18＝10，
∴CD＝10，
∴BD＝18﹣10＝8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系．
17．【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝2cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×8＝2（cm2）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
18．【分析】分两种情况①当点P在正方形的边AB上时，根据正方形的性质用HL判断出Rt△OCD≌Rt△OAP，得出AP＝2，得出点P的坐标，②当点P在正方形的边BC上时，同①的方法即可．
【解答】解：①当点P在正方形的边AB上时，
在Rt△OCD和Rt△OAP中，
∴Rt△OCD≌Rt△OAP，
∴OD＝AP，
∵点D是OA中点，
∴OD＝AD＝OA，
∴AP＝AB＝2，
∴P（2，2），
②当点P在正方形的边BC上时，
同①的方法，得出CP＝，
∴P（2，4）
∴P（5，4）或（4
故答案为（4，4）或（4
【点评】此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出Rt△OCD≌Rt△OAP．
三．计算与证明（共66分）
19．【分析】（1）（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C4为所作；
（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣3），C1（3，8）；
故答案为0，﹣4，﹣4；3，0；
（3）△A2B1C1的面积＝8×4﹣×2×2﹣×2×5＝6．
故答案为7．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
20．【分析】根据平行线的性质，可得内错角相等，根据角的和差，可得∠ABC、∠BAC，根据三角形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：因为BD∥AE，
所以∠DBA＝∠BAE＝57°．
所以∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝82°﹣57°＝25°．
在△ABC中，∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝57°+15°＝72°，
所以∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣25°﹣72°＝83°．
【点评】本题考查了方向角，方向角是相互的，先求出∠ABC、∠BAC，再求出答案．
21．【分析】先根据AF＝CE利用等式的性质得：AE＝FC，由AB∥CD得内错角相等，则△ABE≌△CDF，得出结论．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF+EF＝CE+EF，
即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，是常考题型，比较简单；熟练掌握全等三角形的性质和判定是做好本题的关键．
22．【分析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE＝PF，然后由同角的余角相等证明∠1＝∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．
【解答】答：PC＝PD．
证明：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP＝∠DEP＝90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF，
∵∠1+∠FPD＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠FPE＝90°，
∴∠2+∠FPD＝90°，
∴∠5＝∠2，
在△CFP和△DEP中，
，
∴△CFP≌△DEP（ASA），
∴PC＝PD．
【点评】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．【分析】（1）先证明DE是AC的垂直平分线，再证明DE∥BC，最后由∠ECB＝∠EBC，即可证得CE＝BE；
（2）连接PA，PC，由垂直平分线的性质可得PC＝PA，再由两点之间线段最短即可得到所求PA+PB最小为AB的长．
【解答】解：（1）∵△ACD为等边三角形，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∵∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝BE；      
（2）连接PA，PC，
∵DE垂直平分AC，P在DE上，
∴PC＝PA，
∵两点之间线段最短，
∴当P与E重合时PA+PB最小为15 cm，
∴PB+PC最小为15 cm．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解题的关键．
24．【分析】（1）由条件根据SAS可证明△ACD≌△BCE，则结论得证；
（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，可证明△ACM≌△BCN，可证得CM＝CN，利用角平分线的判定可证明结论；
（3）由（1）可得∠CAD＝∠CBE，再利用三角形内角及外角的性质可求得∠AHE．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAM＝∠CBN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∴CH平分∠AHE；
（3）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠AMC＝∠AMC，
∴∠AHB＝∠ACB＝α，
∴∠AHE＝180°﹣α，
由（2）得CH平分∠AHE，
∴∠CHE＝∠AHE＝180°﹣α，
即∠CHE＝180°﹣α．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）作CH⊥y轴于H，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；
（2）与（1）一样的方法可证明△ABO≌△BCD，得到OB＝CD，OA＝BD，易得OA＝CD+OD；
（3）如图3，CF和AB的延长线相交于点D，先证明△ABE≌△CBD得到AE＝CD，再利用对称性质得CF＝DF，所以CF＝AE．
【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，
∵点A的坐标是（﹣3，2），1），
∴OA＝3，OB＝3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBH＝∠BAO，
在△ABO和△BCH中
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝6+3＝4，
∴C（﹣4，4）；
（2）OA＝CD+OD．理由如下：如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴OB＝CD，OA＝BD，
而BD＝OB+OD＝CD+OD，
∴OA＝CD+OD；
（3）CF＝AE
如图3，CF和AB的延长线相交于点D，
∴∠CBD＝90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D＝90°，
而∠DAF+∠D＝90°，
∴∠BCD＝∠DAF，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE＝CD，
∵x轴平分∠BAC，CF⊥x轴，
∴CF＝DF，
∴CF＝CD＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形．