2022-2023学年广东省江门市新会区葵城中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省江门市新会区葵城中学九年级（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝4B．x2+y+1＝0C．x2+3x＝6D．
2．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量重复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现反面朝上50次
D．通过抛一枚均匀硬币正面朝上或反面朝上，确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．（3分）抛物线y＝﹣x2+3x﹣的对称轴是直线（ ）
A．x＝3B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣
4．（3分）方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14B．（x﹣3）2＝14C．（x+3）2＝4D．（x﹣3）2＝4
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
6．（3分）笔筒中有9支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣9的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+3
8．（3分）已知函数y＝x2﹣4x﹣4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＞﹣4D．﹣2＜x＜4
9．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（ ）
A．300（1+x）＝507
B．300（1+x）2＝507
C．300（1+x）+300（1+x）2＝507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507
10．（3分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，一个红球、一个黄球的概率为 ．
12．（4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ．
13．（4分）二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图所示，若A（﹣2，y1），B（﹣4，y2）是该图象上的两点，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．（4分）已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 ．
15．（4分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 ．（精确到0.1）
16．（4分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程 ．
三、计算题（每小题8分，共8分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）x（5x+4）﹣（5x+4）＝0．
四、解答题（本大题共8小题，共58分）
18．（6分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
19．（6分）已知关于x的方程2x2﹣5x+k＝0的一个根是1．
（1）求k的值．
（2）解这个方程．
20．（6分）已知一长方形公园的面积为4800m2，围绕这个公园的栅栏长为280m，求这个公园的长与宽．
21．（7分）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，把它的图形放在直角坐标系中
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？
22．（8分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是 ；
（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
23．（8分）某工艺品成本价是20元/件，投放市场试销售每件的售价x（元）与产品的日销售y（件）（y与x之间的关系是一次函数）：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该工艺品售价为每件多少元时，每天获得的利润最大？
24．（8分）请阅读下列解方程x4﹣2x2﹣3＝0的过程．
解：设x2＝t，则原方程可变形为t2﹣2t﹣3＝0，即（t﹣3）（t+1）＝0，得t1＝3，t2＝﹣1．
当t＝3，x2＝3，∴x1＝，x2＝﹣，当t＝﹣1，x2＝﹣1，无解．
所以，原方程的解为x1＝，x2＝﹣．
这种解方程的方法叫做换元法．
用上述方法解下面两个方程：
（1）x4﹣x2﹣6＝0；
（2）（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3＝0．
25．（9分）如图：对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P点坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
2022-2023学年广东省江门市新会区葵城中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
【解答】解：A、x+1＝4是一元一次方程；
B、该选项含有两个未知数且最高次数为4，故该选项不符合题；
C、x2+3x＝5是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、该选项为分式方程．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小，只是一种估计值，而不是必然结果，据此可得答案．
【解答】解：A、连续抛一枚均匀硬币2次可能1次正面朝上，8次正面朝上，符合题意；
B、连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上，有可能发生，不符合题意；
C、大量重复抛一枚均匀硬币，则平均每100次出现反面朝上50次，故C说法正确；
D、通过抛一枚均匀硬币正面朝上或反面朝上的概率均为，故D说法正确，
故选：A．
【点评】本题考查概率的意义，理解概率意义，弄清随机事件和必然事件的概率的区别是解答的关键．
3．【分析】根据配方法，或者顶点坐标公式，可直接求对称轴．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+3x﹣的对称轴是直线x＝﹣＝，
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y＝a（x﹣h）2+k顶点坐标（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．【分析】根据配方法的步骤进行配方即可．
【解答】解：
移项得：x2+6x＝2，
配方可得：x2+6x+6＝5+9，
即（x+4）2＝14，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
5．【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求
【解答】解：
由根的判别式得，Δ＝b2﹣4ac＝k8+8＞0
故有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．
6．【分析】由标有1﹣9的号码的9支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，利用概率公式计算可得．
【解答】解：∵在标有1﹣9的号码的2支铅笔中，标号为3的倍数的有3、3，
∴抽到编号是3的倍数的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
7．【分析】把抛物线y＝2x2的顶点（0，0）先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点的坐标为（﹣1，﹣3），即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（6，0），0）先向左平移4个单位长度，﹣3），
所以平移后所得的抛物线的解析式为y＝2（x+6）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式为y＝a（x﹣）2+，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
8．【分析】直接利用二次函数的性质分析得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣8
＝（x﹣2）2﹣2，
则当x＜2时，函数值y随x的增大而减小．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出对称轴是解题关键．
9．【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝507．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝7，且开口向下，
∴x＝1时，y＝a+b+c，故①正确；
②当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
③图象与x轴有2个交点，故b2﹣7ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A，4），
∴A（3，0），
故当y＞4时，﹣1＜x＜3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．【分析】根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，两次摸到的球中、一个黄球的有2种结果，
所以两次摸到的球中，一个红球＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣4x+8＝x2﹣4x+7+1＝（x﹣2）3+1，
所以，y＝（x﹣2）8+1．
故答案为：y＝（x﹣2）8+1．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
13．【分析】根据二次函数的对称性质求解即可．
【解答】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
又点A（﹣2，y2），B（﹣4，y2）关于直线x＝﹣8对称，
∴y1＝y2，
故答案为：＝．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，能得出已知两点的对称性，并掌握二次函数的对称性是解答的关键．
14．【分析】先利用配方法解方程得到x1＝x2＝3，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为6，底边长为3，然后计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+4＝0，
（x﹣3）6＝0，
解得x1＝x2＝3，
因为3+2＝6，
所以等腰三角形的腰为6，底边长为6，
所以三角形的周长＝6+6+2＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
15．【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为2.9．
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16．【分析】直接利用销量×每箱利润＝1280，进而得出方程求出答案．
【解答】解：设每箱应降价x元，则销售数量为：（100+，
根据题意，得（20﹣x）（100+，
故答案为：（20﹣x）（100+×20）＝1280．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．
三、计算题（每小题8分，共8分）
17．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可求解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）移项，得x2﹣4x＝﹣5，
配方，得（x﹣2）2＝7，
开平方，得x﹣2＝±1，
∴x4＝1，x2＝2；
（2）原方程化为（5x+4）（x﹣2）＝0，
则5x+3＝0或x﹣1＝2，
∴，x2＝1．
【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
四、解答题（本大题共8小题，共58分）
18．【分析】（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2求得a即可；
（2）再把点P（m，﹣6）代入抛物线解析式中即可得出m的值，从而得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax3，
得4a＝﹣8，
∴a＝﹣7；
（2）把点P（m，﹣6）代入y＝﹣2x7中，
得﹣2m2＝﹣6，
∴m＝±，
∴P（，﹣8）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
19．【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入方程2x2﹣5x+k＝0列出关于k的方程，然后解方程即可；
（2）将k值代入原方程，然后利用求根公式x＝解方程．
【解答】解：（1）∵关于x的方程2x2﹣7x+k＝0的一个根是1，
∴x＝3满足方程2x2﹣2x+k＝0，
∴2﹣5+k＝0，即k＝3；
（2）由（1）知，k＝5，
∴由原方程，得
2x2﹣4x+3＝0；
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程﹣﹣公式法．利用求根公式x＝解方程时，一定要弄清楚公式中的a、b、c的含义．
20．【分析】直接利用长×宽＝面积，进而得出答案．
【解答】解：设这个公园的长为xm，则宽为：（140﹣x）m
x（140﹣x）＝4800，
解得：x1＝60，x2＝80，
当x＝60时，宽为：140﹣60＝80（m），不合题意；
故x＝80时，宽为：140﹣80＝60（m），
答：这个公园的长为80m，宽为60m．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出宽是解题关键．
21．【分析】（1）根据题意可以设抛物线的顶点式，然后根据函数图象过点（0，0），即可求出这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）将x＝6代入（1）中的函数解析式即可求得在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高度．
【解答】解：（1）设这条抛物线所对应的函数关系式是y＝a（x﹣5）2+2，
∵该函数过点（0，0），
∴3＝a（0﹣5）3+4，
解得，a＝﹣，
∴这条抛物线所对应的函数关系式是y＝﹣（x﹣5）2+6；
（2）当x＝6时，y＝﹣8+4＝，
即在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
22．【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，
所以有乙同学的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润＝日销售量×每件的利润”列出函数解析式，并配方成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题意，得，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+100（5≤x≤50，x为整数）．
（2）设每天获得的利润为P元，则
P＝y（x﹣20）
＝（﹣2x+100）（x﹣20）
＝﹣2x4+140x﹣2 000
＝﹣2（x﹣35）3+450．
∴当x＝35时，P取最大值450．
答：当每件工艺品的售价为35元时，每天获得的利润最大．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质．
24．【分析】（1）仿照例题方法和步骤解方程即可；
（2）设x2+2x＝y，进而利用解一元二次方程的方法步骤求解即可．
【解答】解：（1）设x2＝t，则原方程可变形为t2﹣t﹣8＝0，即（t﹣3）（t+2）＝0，
解得：t1＝8，t2＝﹣2．
当t＝3时，x2＝3，
∴，，
当t＝﹣2，x2＝﹣5，无解．
所以，原方程的解为，；
（2）设x2+2x＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣6＝0，即（y﹣1）6＝4，
解得：y1＝7，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+2x＝8，即（x+1）2＝3，
∴x+1＝±2，
∴x3＝1，x2＝﹣2，
当y＝﹣1时，x2+6x＝﹣1，即（x+1）6＝0，
解得：x3＝x6＝﹣1．
所以，原方程的解为x1＝2，x2＝﹣3，x6＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，看懂题中例题的解法，会利用类比的方法求解一元二次方程是解答的关键．
25．【分析】（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，0）与（2，5）在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点坐标为（﹣3，6）在抛物线上
，
解得：．
所以抛物线的解析式为：y＝x3+2x﹣3．
（2）二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（8，﹣3）．
设P点坐标为（x，x2+7x﹣3），
∵S△POC＝4S△BOC，
∴×3×|x|＝2×，
∴|x|＝6，x＝±4，x2+8x﹣3＝16+8﹣4＝21；
当x＝﹣4时，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣4＝5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣3，C（0，
得，
解得：．
即直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣8）（﹣3≤x≤0），x7+2x﹣3），
QD＝（﹣x﹣2）﹣（x2+2x﹣8）＝﹣x2﹣3x＝﹣，
∴当x＝﹣时，QD有最大值．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．移植的棵数n
200
500
800
2000
12000
成活的棵数m
187
446
730
1790
10836
成活的频率
0.935
0.892
0.913
0.895
0.903
x（元）
25
30
32
…
y（件）
50
40
36
…