2023-2024学年重庆市铜梁区八年级（上）第一次段考数学试卷

这是一份2023-2024学年重庆市铜梁区八年级（上）第一次段考数学试卷，共27页。

A．B．
C．D．
2．（4分）如果一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边长可能是（ ）
A．2cmB．3cmC．12cmD．13cm
3．（4分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
4．（4分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，配出完全一样的三角形，这是根据（ ）
A．S．A．SB．A．S．AC．S．S．SD．A．A．S
5．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（4分）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4（ ）
A．1＜AB＜9B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13D．9＜AB＜13
7．（4分）如图，在△ABC中，点M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝α（ ）
A．B．C．120°﹣αD．2α﹣90°
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝42°，则∠CDE的度数为（ ）
A．12°B．15°C．21°D．25°
9．（4分）等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为（ ）
A．6 cmB．7 cmC．8cmD．6cm或8cm
10．（4分）如图，AD为△ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，AE平分∠BAC．给出以下五个结论：①∠B＝2∠C；②AE平分∠DAH；④AC＝BE+BA；⑤．其中结论正确的是（ ）
A．①②③④⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣1），则m+n的值是 ．
12．（4分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝70°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，连接CE，BF平分∠ABC，若BE＝AC，∠ACE＝20° 度．
14．（4分）定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数二倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若等腰△ABC为“倍角三角形” ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝97°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，若B′D//AC，则∠BDC＝ ．
16．（4分）如图，∠BOC＝60°，A是BO的延长线上一点，动点P从点A出发，沿AB以3cm/s的速度移动，若点P、Q同时出发，当△OPQ是等腰三角形时 s．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥﹣7；且关于y的方程2（y﹣8），则所有满足条件的m的整数值之和是 ．
18．（4分）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，∴312是“三决数”，把一个三决数m的任意一个数位上的数字去掉，这三个两位数之和记为F（m），把m的百位数字与个位数字之差的2倍记为G（m）（347）+G（347）的值为 ；若三位数A是“三决数”，且F（A）+G（A），且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的A的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝2AB．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AD，交BC于点E；作线段AC的垂直平分线交AC于点F；连接BG，CG（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）在（1）的条件下，证明：AB⊥BG．请完成下列证明的推理过程：
证明：∵FG是AC的垂直平分线，
∴AF＝FC，∠AFG＝90°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴① ．
∵② ，
∴AB＝AF．
在△AGB和△AGF中，
∴△AGF≌△AGB（SAS），
∴④ ＝90°，
∴AB⊥BG．
20．（10分）已知：如图，AB∥DE，∠A＝∠D
21．（10分）如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（3，0），C（5，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）点P是x轴上的动点，当△PAB是等腰三角形时，这样的点P有 个．
23．（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
24．（10分）已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE，DM⊥BE于M．
（1）求证：AC＝BM+CM；
（2）若AC＝10，BC＝6，求CM的长．
25．（10分）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，B分别在坐标轴上．
（1）当点C的横坐标为5时，则B点的坐标是 ．
（2）在等腰Rt△ABC运动过程中，位置如图2所示，若x轴恰好平分∠BAC，过C作CD⊥x轴于D，求的值．
（3）在等腰Rt△ABC运动过程中，如图3所示，若x轴恰好经过边BC的中点N，连接BD．请直接写出线段AN、CD、DN之间的数量关系．
26．（10分）【概念学习】
规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．
【概念理解】
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝36°，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC （填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．
（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠B＝48°．求证：CD为△ABC的等腰分割线；
【概念应用】
（3）在△ABC中，∠A＝45°，CD是△ABC的等腰分割线
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．
1．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
【解答】解：设第三边长为xcm，
则8﹣5＜x＜4+5，即3＜x＜13，
∴第三边长可能是12cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
3．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，
故选：A．
【点评】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4．【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
5．【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）×180°＝2×360°，
解得：n＝5．
即这个多边形为六边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．【分析】作辅助线（延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE＝AC＝5；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD＝4．则AE＝8，
∵AD是边BC上的中线，D是中点，
∴BD＝CD；
又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，
∴BE＝AC＝5；
由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．
7．【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，NM＝ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，最后由三角形内角和求出∠C即可．
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，
∵NM＝ND，BM⊥AC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，
∴∠C＝2α﹣90°，
故选：D．
【点评】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝42°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝（180°﹣∠CAD）＝69°，根据直角三角形的两锐角互余即可得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝42°，∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠CAD）＝69°，
∴∠CDE＝90°﹣69°＝21°，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解答此题的关键．
9．【分析】分两种情况进行讨论：腰长为6cm或底边为6cm，分别根据周长求得底边长．
【解答】解：①6cm是底边时，腰长＝，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm，
符合三角形三边关系，
②2cm是腰长时，底边＝20﹣6×2＝3cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm，
符合三角形三边关系，
综上所述，底边长为6或8cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
10．【分析】①设∠C＝α，由已知可得∠AHB＝∠B＝2α；
②分别求出∠DAE＝（90°﹣α）﹣（90°﹣2α）＝α，∠EAH＝（90°﹣α）﹣α＝90°﹣α，即可判断AE不是∠DAH的平分线；
③由②得到③∠DAE＝α，∠B﹣∠C＝2α﹣α＝α，即可得到2∠DAE＝∠B﹣∠C；
④延长AH使HG＝BE，连接GC；证明△ABE≌△CHG（SAS），求出∠ACG＝∠ACB+∠HCG＝α+90°﹣α＝90°﹣α，∠AEB＝∠G＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，则△ACG是等腰三角形，所以AC＝AG＝AH+HG＝AB+BE；
⑤结合④AC＝AB+BE＝CH+BD+DE，再由EC＝CD﹣DE＝CH+DH﹣DE＝CH+BD﹣DE，可得AC﹣CF＝CH+BD+DF﹣（CH+BD﹣DE）＝2DE，即可得到＝2．
【解答】解：①设∠C＝α，
∵点H为AC的垂直平分线与BC的交点，
∴AH＝HC，
∴∠CAH＝α，
∴∠AHB＝2α，
∵HC＝AB，
∴AH＝AB，
∴∠B＝2α，
∴∠B＝5∠C；
②∵∠C＝α，∠B＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣3α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝90°﹣α，
∵AD为△ABC的高，
∴∠BAD＝90°﹣2α，
∴∠DAE＝（90°﹣α）﹣（90°﹣2α）＝α，
∴∠EAH＝（90°﹣α）﹣α＝90°﹣α，
∴AE不是∠DAH的平分线；
③∵∠DAE＝（90°﹣α）﹣（90°﹣2α）＝α，
∠B﹣∠C＝2α﹣α＝α，
∴3∠DAE＝∠B﹣∠C；
④延长AH使HG＝BE，连接GC；
∵HG＝BE，∠AHB＝∠CHG＝∠B＝2α，
∴△ABE≌△CHG（SAS），
∴∠G＝∠AEB，∠HCG＝∠BAE，
在Rt△ABD中，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣2α，
∴∠HCG＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°﹣4α+α＝90°﹣α，
∴∠ACG＝∠ACB+∠HCG＝α+90°﹣α＝90°﹣α，
在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣6α﹣（90°﹣α，
∴∠G＝∠ACG，
∴AC＝AG＝AH+HG＝AB+BE；
⑤∵AH＝CH＝AB，
∵AH＝AB，AD⊥BC，
∴BD＝DH，
∴AC＝AB+BE＝CH+BD+DE，
∵EC＝CD﹣DE＝CH+DH﹣DE＝CH+BD﹣DE，
∴AC﹣CF＝CH+BD+DF﹣（CH+BD﹣DE）＝2DE，
∴＝2；
∴①③④⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的角平分线，高，线段垂直平分线的性质；熟练掌握角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将答案填在答题卡上对应的横线上．
11．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵A（2，m）和B（n，
∴n＝2，m＝2，
∴m+n＝2+1＝4．
故答案为：3．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC＝∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，则可求得∠EAC．
【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠BAC＝80°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠DAC＝80°﹣15°＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
13．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∵BE＝AC，
∴CE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形，
∵∠ACE＝20°，
∴∠AEC＝∠A＝80°，
∵BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB＝，
∵BF平分∠ABC，
∴∠EBF＝，
∴∠EFB＝∠AEC﹣∠EBF＝80°﹣20°＝60°，
故答案为：60
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．
14．【分析】分两种情况讨论：底角度数是顶角度数的2倍；顶角度数是底角度数的2倍；进行计算即可求解．
【解答】解：底角度数是顶角度数的2倍，
顶角：180°÷（2+8+1）＝36°；
顶角度数是底角度数的2倍，
顶角：180°÷（++1）＝90°．
故△ABC的顶角度数为36°或90°．
故答案为：36°或90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，新定义，注意分类思想的应用．分两种情况是解题的关键．
15．【分析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．
【解答】解：由折叠可得∠B'＝∠B＝31°，
∵B′D∥AC，
∴∠ACB'＝∠B'＝31°，
又∵∠ACB＝97°，
∴∠BCB'＝66°，
由折叠可得，∠BCD＝，
∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣31°﹣33°＝116°．
故答案为：116°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
16．【分析】根据△OPQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上．
【解答】解：当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图1所示：
∵PO＝AO﹣AP＝10﹣3t，OQ＝6t，
∴当PO＝QO时，
10﹣3t＝2t，
解得t＝6；
当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形；
如图2所示：
∵PO＝AP﹣AO＝3t﹣10，OQ＝5t；
∴当PO＝QO时，3t﹣10＝2t；
解得t＝10；
故答案为：8s或10s．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质；由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．
17．【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为x≥﹣7得到m的取值范围；解方程，根据解是正整数，确定整数m的取值，从而求解．
【解答】解：因为的解集为x≥﹣7，
∴m≤﹣3，
∵关于y的方程2（y﹣8）＝m﹣y有正整数解，
∴有正整数解，
∴m＝﹣13或m＝﹣10，
∴所有满足条件的m的整数值之和＝﹣13﹣10＝﹣23，
故答案为：﹣23．
【点评】本题考查方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握方程的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
18．【分析】按照定义计算即可．
【解答】解：F（347）＝34+37+47
＝118，
G（347）＝2（3﹣5）
＝﹣8，
∴F（347）+G（347）＝118﹣8
＝110．
设三位数A的百位数字为a，十位数字为b，
∴F（A）＝10a+b+10a+c+10b+c
＝20a+11b+6c；
G（A）＝2（a﹣c）
＝2a﹣6c，
∴F（A）+G（A）＝20a+11b+2c+2a﹣5c
＝22a+11b
＝11（2a+b），
∵0≤a≤2，0≤b≤9，
∴3≤2a+b≤27，
∵F（A）+G（A）是完全平方数，
∴2a+b＝11，
∴；；；；，
∵三位数A是“三决数”，
∴b＝|a﹣c|，
∴c＝a±b，
当时，c＝﹣8或10，
当时，c＝﹣7或9，
∴A为279；
当时，c＝﹣2或8，
∴A为358；
当时，c＝1或7，
∴A为431或437；
当时，c＝3或6，
∴A为514或516；
∴A的最大值为516．
故答案为：110；516．
【点评】本题考查了整式的化简的应用，因式分解及合理的推理是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题8分，共78分）解答时每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．
19．【分析】（1）按照角平分线和垂直平分线的尺规作图方法，求解即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质，求证即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵FG是AC的垂直平分线，
∴AF＝FC，∠AFG＝90°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠FAG，
∵AC＝2AB＝2AF，
∴AB＝AF，
在△ABG和△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（SAS），
∴∠ABG＝∠AFG＝90°，
∴AB⊥BG
故答案为：①∠BAG＝∠FAG；②AC＝4AB＝2AF；④∠ABG＝∠AFG＝90°．
【点评】此题考查了复杂作图，掌握角平分线和垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．【分析】根据平行线的性质推出∠B＝∠DEF，根据全等三角形的判定AAS证出即可．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．
21．【分析】已知Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，利用“HL”可判断两三角形全等，根据确定找对应角相等，根据直角三角形两锐角的互余关系，确定ABC与∠DFE的大小关系．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC＝∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE＝90°
∴∠ABC+∠DFE＝90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．
22．【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
（3）根据等腰三角形的判定得出P点即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C3即为所求．
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，
（3）如图所示，
P点的个数是3个．
故答案为：3．
【点评】本题几何变换综合题，主要考查作图—平移变换和轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
23．【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝35°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠E＝25°；
（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．
设∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠8＝∠2＝∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∵∠B＝n°，∠ACB＝m°，
∴∠CAB＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD＝（180﹣n﹣m）°，
∴∠6＝∠B+∠1＝n°+（180﹣n﹣m）°＝90°+m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE＝90°，
∴∠E＝90°﹣（90°+n°﹣（m﹣n）°＝．
【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
24．【分析】（1）作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN＝CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN＝BM，即可解题；
（2）利用（1）中的结论变形得出答案即可．
【解答】（1）证明：作DN⊥AC于N，
∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，
∴DN＝DM，
在Rt△DCN和Rt△DCM中，
，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），
∴CN＝CM，
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∵AC＝AN+CN，
∴AC＝BM+CM．
（2）解：∵AN＝AC﹣CN，BM＝BC+CM，
∴AC﹣CN＝BC+CM，
∴AC﹣CM＝BC+CM，
∴2CM＝AC﹣BC，
∵AC＝10，BC＝6，
∴CM＝6．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN＝CM，AN＝BM是解题的关键．
25．【分析】（1）如图1，过C作CE⊥y轴于E，根据余角的性质得到∠BAO＝∠CBE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）证明△ADE≌△ADC（ASA），则AB＝BC；再证明△ABM≌△CBE（ASA），则AM＝EC＝2CD；
（3）根据垂直的定义得到∠CDN＝90°，求得ON＝DN，根据全等三角形的性质得到OB＝CD，过C作CE⊥y轴于E，根据全等三角形的性质得到CE＝OB，AO＝BE，根据正方形的性质得到OD＝CD＝OE，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过C作CE⊥y轴于E，
∴∠AOB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠CBE＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OB＝CE，
∵点C的横坐标为5，
∴CE＝3，
∴OB＝5，
∴B（0，2）；
（2）如图2，延AB．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∵∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴CD＝DE，
∵∠EAD+∠E＝90°，∠E+∠BCE＝90°，
∴∠BAM＝∠BCE，
∵∠ABM＝∠CBE＝90°，AB＝BC，
∴△ABM≌△CBE（ASA），
∴AM＝EC＝2CD，
即AM＝6CD，
∴的值为2；
（3）AN+DN＝3CD．
理由：∵CD⊥x轴，
∴∠CDN＝90°，
∴∠BON＝∠CDN＝90°，
∵BC的中点N，
∴ON＝DN，
∵∠BNO＝∠CND，
∴△BON≌△CDN（ASA），
∴OB＝CD，
过C作CE⊥y轴于E，
由（1）知，△ABO≌△BCE，
∴CE＝OB，AO＝BE，
∴CE＝CD，
∴四边形CDOE是正方形，
∴OD＝CD＝OE，
∴ON＝DN＝OD＝，
∴OA＝BE＝2OB＝2CD，
∴AN+DN＝AO+OD＝5CD+CD＝3CD．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．【分析】（1）推出∠BCD＝36°，∠ABC＝72°，∠BDC＝72°，从而得出结论；
（2）可计算得出∠ACD＝∠A，∠BCD＝∠A＝36°，∠B＝∠B，∠BDC＝∠ACB，从而得出结论；
（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形，当△ACD 是等腰三角形时，再分为：AC＝AD，AD＝CD，AC＝CD三种情形讨论，同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出∠ACB的度数即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝36°，
∵∠ABC＝72°，
∴∠BDC＝72°，
∴△CBD和△ABC互为“形似三角形”，
故答案为：是；
   （2）证明：∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣36°﹣48°＝96°，
∵CD平分∠ACB，
∴＝，
∴∠BCD＝∠B，
∴△BCD是等腰三角形，∠ACD＝∠A＝36°，∠ADC＝∠ACB＝96°，
∴CD为△ABC的等腰分割线；
（3）解：（Ⅰ）当△ACD是等腰三角形时，
①如图1，
当AD＝CD时，则∠ACD＝∠A＝45°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝90°，
此时∠BCD＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝90°；
②如图8，
当AC＝AD时，则＝67.5°，
此时∠BCD＝∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°+67.6°＝112.5°；
③当AC＝CD时，这种情况不存在；
（Ⅱ）当△BCD是等腰三角形时，
①如图3，
当CD＝DB时，∠B＝∠BCD＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝∠ACD+45°，
∵∠BDC+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+45°+∠ACD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝2×45°＝90°；
②如图4，
当BC＝BD，∠B＝∠ACD时，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ACD+∠A＝∠ACD+45°，
由∠B+2∠BDC＝180°，
得，∠ACD+7（∠ACD+45°）＝180°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝45°+2×30°＝105°；
③当CD＝CB时，这种情况不存在；
综上所述：∠ACB＝90°或112.5°或105°．
【点评】本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类．