高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算同步测试题

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算同步测试题，共10页。试卷主要包含了已知f=x+4,则f'=，下列求导正确的是，求下列函数的导数，某海湾拥有世界上最大的海潮等内容，欢迎下载使用。

题组一 复合函数的求导法则
1.(2024江苏扬州中学月考)已知f(x)=x+4,则f'(x)=( )
A.x+4 B.2x+4 C.1x+4 D.12x+4
2.(多选题)(2024广东深圳南头中学月考)下列求导正确的是( )
A.(e3x)'=3e2x
B.(2sin x-3)'=2cs x
C.x2x+1'=-1(2x+1)2
D.(xcs x)'=cs x-xsin x
3.(2024重庆渝北中学月考)设函数f(x)=xsin 2x,则f'π2= .
4.(2024安徽合肥六校联盟期中)设函数f(x)=e2xx+a,若f'(0)=1,则a= .
5.(2023辽宁阜新第二高级中学期末)已知函数f(x)=-x2+3xf'(1)+6ln(2x+1),则f(1)= .
6.(2024山西临汾月考)求下列函数的导数:
(1)y=(x2+3x+3)ex+1;
(2)y=cs(2x+1)x;
(3)y=lnx1+2x;
(4)y=sin22x+π3.
题组二 复合函数求导的综合运用
7.(2024湖北部分学校联考)已知曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,则k的值为( )
A.4 B.2 C.-3 D.-6
8.(2024江苏苏大附中月考)已知f(x)=eax-1ex(a≠0)是奇函数,则曲线y=f(x)在x=0处的切线方程是( )
A.y=0 B.y=x
C.y=2x D.y=ex
9.(2024河南郑州外国语学校调研)某海湾拥有世界上最大的海潮.假设在该海湾某一固定点处,大海水深d(单位:m)与午夜后的时间t(单位:h)之间的关系为d(t)=10+4csπ3t,则下午5:00时该固定点的水位变化的速度(单位:m/h)为( )
A.23π3 B.6π C.-6π D.-63π
10.(多选题)关于双曲正弦函数sinh x=ex-e-x2和双曲余弦函数csh x=ex+e-x2,下列结论正确的是( )
A.sinh(-x)=-sinh x
B.(csh x)'=-sinh x
C.csh(-1)D.sinh2x-csh2x=1
11.(2024福建莆田第三中学期中)若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex+b,其中a,b为正实数,则a+eb+2的取值范围是 .
能力提升练
题组 复合函数的导数及其应用
1.(2024山东济宁兖州期中)已知ω是正整数,函数f(x)=sin(ωx+ω)在(0,ωπ)内恰好有4个零点,其导函数为f'(x),则f(x)+f'(x)的最大值为( )
A.2 B.5
C.3 D.10
2.(2024重庆实验外国语学校月考)将函数g(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移φω(0<φ<π)个单位长度得到函数f(x)的图象, f(0)=12, f'(x)为f(x)的导函数,且f'(0)<0,若当x∈[0,π]时, f(x)的取值范围为-1,12,则ω的取值范围为( )
A.23≤ω<1 B.23≤ω≤1
C.23≤ω<43 D.23≤ω≤43
3.(2023山东青岛胶州月考)已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函数f(x)=ln|x|图象上的两个不同点,且曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,则x1-x2的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.[1,+∞) D.[2,+∞)
4.(2023安徽亳州一中月考)若函数y1=sin 2x1+12x1∈0,π2,y2=x2+3,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为( )
A.2π+152-3612 B.2π12
C.14-534 D.(π-33+15)272
5.(2024江苏南京外国语学校月考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x+1),且f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数,则g'(7)+g(17)=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2024北京第三十五中学开学考试)若∀m∈R,∃a,b∈R,使得f(a)-f(b)a-b=f(m)成立,则称函数f(x)满足性质Ω,下列函数不满足性质Ω的是( )
A.f(x)=x2+3x B.f(x)=12|x|+1
C.f(x)=e-x+1 D.f(x)=cs(1-2x)
7.(2024河南前二十名校调研)设函数f(x)的定义域为R, f'(x)为f(x)的导函数, f(x+1)-f(2-x)=2x-1,则∑i=189f'i30= .
8.已知函数f(x)=3x+cs 2x+sin 2x, f'(x)是f(x)的导函数,且a=f'π4,求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.
答案与分层梯度式解析
5.2.3 简单复合函数的导数
基础过关练
1.D f(x)=x+4=(x+4)12,则f'(x)=12(x+4)-12=12x+4.故选D.
2.BD (e3x)'=3e3x,故A错误;(2sin x-3)'=2cs x,故B正确;x2x+1'=x'(2x+1)-x(2x+1)'(2x+1)2=2x+1-2x(2x+1)2=1(2x+1)2,故C错误;(xcs x)'=x'cs x+x(cs x)'=cs x-xsin x,故D正确.故选BD.
3.答案 -π
解析 由已知得 f'(x)=sin 2x+2xcs 2x,
所以f'π2=sin π+2×π2cs π=-π.
4.答案 1
解析 由题意可知f'(x)=2e2x(x+a)-e2x(x+a)2,由f'(0)=1,得2a-1a2=1,所以a=1.
5.答案 6ln 3-4
解析 f'(x)=-2x+3f'(1)+122x+1,则f'(1)=-2+3f'(1)+4,得f'(1)=-1,
所以f(x)=-x2-3x+6ln(2x+1),故f(1)=6ln 3-4.
6.解析 (1)因为y=(x2+3x+3)ex+1,
所以y'=(x2+3x+3)'·ex+1+(x2+3x+3)·(ex+1)'
=(2x+3)ex+1+(x2+3x+3)ex+1=ex+1(x2+5x+6).
(2)因为y=cs(2x+1)x,
所以y'=[cs(2x+1)]'x-cs(2x+1)·x'x2
=-2xsin(2x+1)-cs(2x+1)x2.
(3)因为y=lnx1+2x,所以y'=1+2xx·x1+2x'=1+2xx·1+2x-2x(1+2x)2=1x(1+2x).
(4)因为y=sin22x+π3=12-12cs4x+2π3,
所以y'=12sin4x+2π3×4=2sin4x+2π3=-2sin4x-π3.
7.B 由y=x+kln(1+x)得y'=1+k1+x,所以y'x=1=1+k2,即曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线斜率为1+k2,又直线x+2y=0的斜率为-12,所以-12×1+k2=-1,解得k=2.故选B.
8.C ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=e-ax-1e-x+eax-1ex=0,可得(eax-1)(eax-e2x)=0,
∵a≠0,∴eax-1=0不恒成立,则eax=e2x,可得a=2,∴f(x)=e2x-1ex=ex-e-x,
则f(0)=0, f'(x)=ex+e-x,故f'(0)=2,可知切点坐标为(0,0),切线斜率为2,∴切线方程为y=2x.
故选C.
9.A 由d(t)=10+4csπ3t,得d'(t)=-4π3sinπ3t,所以下午5:00时该固定点的水位变化的速度为d'(17)=-4π3sinπ3×17=-4π3sin6π-π3=-4π3×-32=23π3(m/h).故选A.
10.AC sinh(-x)=e-x-ex2=-ex-e-x2=-sinh x,
∴A中结论正确;
(csh x)'=ex+e-x2'=ex-e-x2=sinh x≠-sinh x,
∴B中结论错误;
csh 2-csh(-1)=e2+e-22-e-1+e2=e4+1-e-e32e2=(e-1)(e3-1)2e2>0,∴csh 2>csh(-1),∴C中结论正确;
sinh2x-csh2x=ex-e-x22-ex+e-x22=-44=-1,
∴D中结论错误.故选AC.
11.答案 [2,+∞)
解析 设切点为(x0,y0),由y=ln(x+a)得y'=1x+a,所以1x0+a=e,ln(x0+a)=ex0+b,解得b=ae-2,
因为b>0,所以a>2e,
则a+eb+2=a+eae-2+2=a+1a≥2a·1a=2,当且仅当a=1a,即a=1时取等号,故a+eb+2的取值范围为[2,+∞).
能力提升练
1.B 设f(x)的周期为T,则T=2πω.
因为f(x)在(0,ωπ)内恰好有4个零点,
所以3T2<ωπ-0≤5T2,即3πω<ωπ≤5πω,所以3<ω2≤5,
又ω∈N*,所以ω=2,即f(x)=sin(2x+2),则f'(x)=2cs(2x+2),
所以f(x)+f'(x)=sin(2x+2)+2cs(2x+2)=5sin(2x+2+φ)≤5,其中tan φ=2,φ∈0,π2.故选B.
2.D 由题意得f(x)=sinωx+φω=sin(ωx+φ),
则f'(x)=ωcs(ωx+φ),f(0)=sin φ=12, f'(0)=ωcs φ<0,
∵ω>0,∴cs φ<0,又0<φ<π,∴φ=5π6,
∴f(x)=sinωx+5π6=csωx+π3.
当x∈[0,π]时,ωx+π3∈π3,πω+π3,
∵f(x)∈-1,12,∴π≤πω+π3≤5π3,解得23≤ω≤43.故选D.
3.D 当x>0时, f(x)=ln x, f'(x)=1x,
当x<0时, f(x)=ln(-x), f'(x)=--1x=1x,
因为曲线f(x)在A,B两点处的切线互相垂直,
所以f'(x1)·f'(x2)=1x1·1x2=-1,即x1x2=-1,
又x1>x2,所以x1>0>x2,
因此x1-x2=x1+1x1≥2x1·1x1=2,
当且仅当x1=1x1,即x1=1时,等号成立,
所以x1-x2的取值范围为[2,+∞).故选D.
4.D (x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值即点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离的平方的最小值.
由题可得y'1=2cs 2x1,令y'1=1,则cs 2x1=12,
又x1∈0,π2,所以x1=π6,所以y1=1+32,
故函数y1=sin 2x1+12的图象在点π6,1+32处的切线与直线y2=x2+3平行.
易得切点到直线y2=x2+3的距离为π6-1+32+32=π-33+1562,
易知(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为点π6,1+32到直线y2=x2+3的距离的平方,
所以(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为(π-33+15)272.
故选D.
5.C ∵g(3+x)为偶函数,∴g(3+x)=g(3-x),
又g(x)=f'(x+1),∴f'(x+4)=f'(-x+4),
对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导,得f'(2+x)+f'(2-x)=4,∴f'(4+x)+f'(-x)=4,即f'(4-x)+f'(-x)=4,∴f'(4+x)+f'(x)=4,则f'(8+x)=f'(x),∴函数f'(x)的周期为8,
在f'(2+x)+f'(2-x)=4中,令x=0,得f'(2)=2,
∴g(17)=f'(18)=f'(2)=2,
∵g(3+x)=g(3-x),
∴g'(3+x)=-g'(3-x),∴g'(7)=-g'(-1)①,
又f'(8+x)=f'(x),∴g(7+x)=g(x-1),∴g'(7+x)=g'(x-1),∴g'(7)=g'(-1)②,
由①②可得g'(7)=0,∴g'(7)+g(17)=2,故选C.
6.C 由题意得f(x)的值域是f'(x)值域的子集.
对于A,由二次函数的性质知f(x)=x2+3x的值域为-94,+∞,∵f'(x)=2x+3,∴f'(x)的值域为R,
则-94,+∞⊆R,A满足性质Ω;
对于B, f(x)的值域为(0,1],且f(x)=12x+1,x≥0,1-2x+1,x<0,
当x≥0时, f'(x)=-2(2x+1)2∈[-2,0),当x<0时, f'(x)=2(-2x+1)2∈(0,2),
显然f(x)的值域是f'(x)值域的子集,B满足性质Ω;
对于C,∵-x+1∈R,∴f(x)=e-x+1的值域为(0,+∞),
∵f'(x)=-e-x+1,∴f'(x)的值域为(-∞,0), f(x)的值域不是f'(x)值域的子集,C不满足性质Ω;
对于D,∵1-2x∈R,∴f(x)=cs(1-2x)的值域为[-1,1],∵f'(x)=2sin(1-2x),∴f'(x)的值域为[-2,2],则[-1,1]⊆[-2,2],D满足性质Ω.故选C.
7.答案 89
解析 由f(x+1)-f(2-x)=2x-1,得f'(x+1)+f'(2-x)=2,所以f'(x)+f'(3-x)=2,令x=32,则2f'32=2,即f'32=1,易知f'i30+f'90-i30=2,
则∑i=189f'i30=f'130+f'8930+f'230+f'8830+…+f'4430+f'4630+f'4530=2×89-12+1=89.
8.解析 f'(x)=3-2sin 2x+2cs 2x,
则a=f'π4=3-2sin π2+2cs π2=1.
∵点P在曲线y=x3上,∴b=a3=1,
∴点P的坐标为(1,1).
由y=x3得y'=3x2.
设切点坐标为(x0,x03),则切线的斜率为3x02,
∴切线方程为y-x03=3x02(x-x0).
又P(1,1)在切线上,∴1-x03=3x02(1-x0),
∴2x03-3x02+1=0,
∴(x0-1)2(2x0+1)=0,∴x0=-12或x0=1,
∴切点的坐标为-12,-18或(1,1),
∴满足题意的切线方程为y+18=34x+12或y-1=3(x-1),即3x-4y+1=0或3x-y-2=0.