山东省泰安市泰山区2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份山东省泰安市泰山区2024-2025学年七年级上学期期中数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置.）
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故选：C．
2. 在下列图形中，正确画出边上的高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，
可得D选项中，BD是中边长的高.
故选：D．
3. 如图，点E、点F在BC上，，，添加一个条件，不能说明的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴，即，
∵，
A、添加，满足边角边，可证明，故本选项不符合题意；
B、添加，满足边边角，无法证明，故本选项符合题意；
C、添加，满足角边角，可证明，故本选项不符合题意；
D、添加，满足角角边，可证明，故本选项不符合题意.
故选：B.
4. 如图，直线，一块含有30度的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
∵，∴，
∵，∴．
故选：A.
5. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（ ）
A. 13B. 47C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积．
故选：B．
6. 小明用小棍摆三角形，小棍的长度有8cm，9cm，15cm和18cm四种规格，他已经取了8cm和9cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）
A. 8cmB. 9cmC. 15cmD. 18cm
【答案】D
【解析】设第三根木棍长为，则，即，
∴第三根木棍不可能取18cm.
故选：D．
7. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. 3，4，5B. 6，8，10C. 5，12，16D. 7，24，25
【答案】C
【解析】A.，能构成直角三角形；
B.，能构成直角三角形；
C.，不能构成直角三角形；
D. ，能构成直角三角形.
故选：C．
8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺，
在中，，即．
故选：C．
9. 小明用两个全等的等腰三角形与设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，它们关于直线对称，点E，F分别是底边的中点，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵它们关于直线对称，∴，∴，
∵点E，F分别是底边的中点，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∴，故选项A正确，不符合题意；
根据题意无法得到和大小关系，故选项D错误，符合题意；
如图，过点O作，则，
∵点E，F分别是底边的中点，，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
∵它们关于直线对称，∴，
∴，∴，
故C选项正确，不符合题意.
故选：D.
10. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 45B. 44C. 40D. 36
【答案】A
【解析】如图，直角三角形两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积为25，小正方形的面积为5，
∴，，∴，
∴图2中大正方形的面积为．
故选：A.
11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由作图方法可知，是的角平分线，∴，故A结论正确，不符合题意；
∵，∴，故B结论正确，不符合题意；
在中，由勾股定理得，
∵，∴，
∴，∴，
∴，故C结论错误，符合题意；
∴，故D结论正确，不符合题意.
故选：C．
12. 已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 9
【答案】C
【解析】如图，连接，
设，∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵的面积等于18，∴，∴，
即与的面积和等于8.
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果.）
13. 若等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是_______．
【答案】54
【解析】∵等腰三角形的顶角是，∴它的一个底角是．
14. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】∵三角形两边长分别为2，6，∴，
即该三角形第三边长a的取值范围是．
15. 如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中的度数______．
【答案】
【解析】如图所示，由题意得，，∴，
∵，∴.
16. 如图，在中，，，，则_______．
【答案】
【解析】∵，，∴，
∵，即，∴．
17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，斜边AB的垂直平分线与∠CAB的平分线都交BC于D点，则点D到斜边AB的距离为___________.
【答案】5
【解析】如图，
∵斜边AB的垂直平分线与BC相交于D点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，
∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∵∠C=90°，∴∠B+∠BAD+∠CAD=90°，
即3∠B=90°，∴∠B=30°，∴BD=2DE，
∵BC=15，∴CD+BD=DE+BD=DE+2DE=3DE=15，∴DE=5，
即点D到斜边AB的距离为5．
18. 如图所示的长方体中，，一只蚂蚁从点处，沿长方体表面爬行到点处吃食，蚂蚁需要爬行的最短路程为___________．
【答案】10
【解析】①展开正面和右面，如图，连接，
∵长，高，
∴，
②展开正面和上面，如图，连接，
∴，
③展开左面和上面，
∴，
∴爬行的最短距离为.
19. 如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为______．
【答案】3
【解析】由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，解得.
20. 如图，在中，的垂直平分线分别交于D、E两点，并且相交于点F，且，则的度数是______．
【答案】
【解析】的垂直平分线相交于点，
∴，∴，
∵的垂直平分线分别交于两点，
∴，∴，
∴，∴.
三、解答题（本大题共7个小题，满分70分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤.）
21. 如图，在四边形中，与BD交于点O，，垂足分别为点E、F，且，．
请说明：．
证明：∵，，∴，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴．
22. 数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分的长为（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为，求旗杆的长．
解：设旗杆的长为，则，
中，，∴，解得：，
即旗杆的长为．
23. 如图4×4的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，探究在网格中与成轴对称的格点三角形．
（1）如图①与成轴对称的格点三角形共有多少个；
（2）在②、③、④中各画出一个不同位置的与成轴对称的格点三角形．
解：（1）图①与成轴对称的格点三角形共有个（见下图）.
（2）如图所示：都是符合题意的图形．
24. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：．
证明：连接，
∵，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
∴，
在中，，∴，∴．
25. 在下图的每个三角形中，分别按要求作（画）图：
（1）在图①中用尺规作出中线AD；
（2）在图②中用尺规作出角平分线AD；
（3）在图③中画出高线AD；
（4）在图①中，若，（C表示周长）且，求的长．
解：（1）如图，AD即为所作.
（2）如图，AD即为所作.
（3）如图，AD即为所作.
（4）∵AD是的中线，∴，
∴，
又∵，∴．
26. 如图，在中，，点、在上，延长至使，连接；延长至使，连接，当时，猜想线段与线段的数量关系？并说明理由．
解：．
理由：，，，
，，，
，，
又，≌，
，，．
27. 如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．
（1）求∠DMB的度数．
（2）若CH⊥BE于点B，证明：AB＝4MH．
解：（1）∵，，
∴，
∵BE是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴.
（2）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．