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2024-2025学年辽宁省名校联盟高一（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）
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这是一份2024-2025学年辽宁省名校联盟高一（上）联考数学试卷（10月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A=N，集合B={x|−3A. NB. {−2,−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {1,2}
2.设a，b∈R，则“a<1且b<1”是“a+b<2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如果实数集R的子集X满足任意开区间(a,b)(其中aA. 任意开区间都不含有X中的点B. 存在开区间不含有X中的点
C. 任意开区间都含有X的补集中的点D. 存在开区闻含有X的补集中的点
4.《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CD⊥AB于点C，设AC=a，BC=b，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为( )
A. b+ma+m>ba(b>a>0,m>0)B. a2+b2≥ 22(a+b)(a>0,b>0)
C. 2aba+b≤ ab(a>0,b>0)D. a+b2≥ ab(a>0,b>0)
5.一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学生总人数为( )
A. 66B. 87C. 99D. 前三个答案都不对
6.设有限集M所含元素的个数用card(M)表示，并规定card(⌀)=0.已知集合A，B满足A∪B={1,2,3,4,5,6}，A∩B=⌀，若card(A)∉A，card(B)∉B，则满足条件的所有不同集合A的个数为( )
A. 3B. 6C. 10D. 64
7.设y=(x−a)⋅ax−b−1，若y>0恒成立，则a2+b2的最小值是( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
8.若关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解，则k的取值范围为 ( )
A. (0,1)B. 14,1C. 14,+∞D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的是( )
A. 12∈RB. |−3|∉NC. − 3∉QD. N∈Q
10.若a，b≠0，且a|c|>b|c|，则下列不等式一定成立的是( )
A. a>bB. 1a<1bC. |a|>bD. a|c|>b|c|
11.设a>0，b>0，a+b=ab，则( )
A. ab的最小值为4
B. a+4b的取值范围是[9,+∞)
C. (a+1)(b+1) ab的最小值为2 2
D. 若c>1，则(a+ba+25ab)⋅c+1c−1的最小值为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若{1, a}⊆{1,2,a2}，则a= ______．
13.已知二次函数y=(ax−1)(x−a)，甲同学：y>0的解集为(−∞,a)∪(1a,+∞)；乙同学：y<0的解集为(−∞,a)∪(1a,+∞)；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是______．
14.定义maxM为数集M中最大的数，已知0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等．
(1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；
(2)在(1)的条件下，设集合A={x|−m≤x38≤n}，B={x|2p−1≤x≤p+1}，若B⫋A，求p的取值范围．
16.(本小题15分)
(1)证明： 6− 5<2− 3；
(2)已知a，b，c>0且abc=12，求证：ab2a3+1+bc2b3+1+ca2c3+1≥1．
17.(本小题15分)
设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交CD于点P．
(1)证明：△ADP的周长为定值；
(2)设AB=x，且记△ADP的面积为S(x).求当x为何值时，S(x)取得最大值，并求出最大值．
18.(本小题17分)
已知y=ax2−(a+3)x+3．
(1)当a= 3时，方程y=0的两根分别为x1，x2，若存在x，使x12+x22≥|x−1|+|m−x|成立，求m的取值范围；
(2)若a∈R，求不等式ax2−(a+3)x+3≥0的解集．
19.(本小题17分)
对于题目：已知m>0，n>0，且m+2n=3，求A=1m+2n的最小值.同学甲的解法：因为m>0，n>0，所以1m>0，2n>0，所以1m+2n≥2 2mn，m+2n≥2 2mn，A=1m+2n=13(m+2n)(1m+2n)≥13×2 2mn×2 2mn=83，所以A的最小值为83.同学乙的解法：因为m>0，n>0，所以A=1m+2n=13(m+2n)(1m+2n)=13(1+2nm+2mn+4)≥13×(5+4)=3，当且仅当2nm=2mn，即m=n=1时等号成立，所以A的最小值为3．
(1)请对两位同学计算结果的正确性作出评价(需指明错误原因)；
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知m>0，n>0，且m+2n=3．
(i)求B=m2m+1+2n2+2n的最小值；
(ii)求C=2m+5n+1m+n的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.A
6.C
7.B
8.C
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.0
13.(−∞,−1]
14.27
15.解：(1)根据题意，可列方程组为4n+m=5m+n5n+6m=1，
解得m=338n=219，
所以每只燕重338斤，每只雀重219斤；
(2)由(1)可得集合A={x|−3≤x≤4}，
因为B⫋A，
①当B=⌀时，符合B⫋A，
则p+1<2p−1，
解得p>2，
②当B≠⌀时，即p≤2且2p−1≥−3p+1≤4，且等号不同时成立，
解得−1≤p≤2，
综上所述，p的取值范围是[−1,+∞)．
16.证明：(1)(反证法)：
假设 6− 5≥2− 3，
即 6+ 3≥2+ 5，
两边平方得9+6 2≥9+4 5，即3 2≥2 5，
即18≥20，这与18<20矛盾，因此假设不成立，
故 6− 5<2− 3．
法二(分析法)：
要证2− 3> 6− 5，
只需证2+ 5> 6+ 3，
只需证(2+ 5)2>( 6+ 3)2，
即证9+4 5>9+6 2，即证20>18，
因为20>18成立，
所以2− 3> 6− 5成立．
法三(综合法)：
6− 5=6−5 6+ 5=1 6+ 5，
2− 3=4−32+ 3=12+ 3，
因为 6+ 5>2+ 3>0，
所以1 6+ 5<12+ 3，
所以 6− 5<2− 3．
(2)由题意知a>0，b>0，c>0，
所以a2+b2≥2ab>0，a2+c2≥2ac>0，b2+c2≥2bc>0，当且仅当a=b=c时，上述三个等号同时取得，
故ab2a3+1+bc2b3+1+ca2c3+1
=ab2a3+2abc+bc2b3+2abc+ca2c3+2abc
=b2a2+2bc+c2b2+2ac+a2c2+2ab≥b2a2+b2+c2+c2a2+b2+c2+a2a2+b2+c2=1．
17.证明：(1)由题意可知，∠APD=∠BPC，∠ADP=∠PBC，AD=BC，
所以△ADP≌△PBC，所以AP=PC，
所以AD+DP+PA=AD+DP+PC=AD+DC=12，
所以△ADP的周长为定值；
解：(2)在Rt△ADP中，因为AD2+DP2=PA2，
所以(12−x)2+DP2=(x−DP)2，解得DP=12−72x，
所以S(x)=12AD⋅DP=12(12−x)(12−72x)=6(18−72x−x)，
因为AB>BC，所以6当且仅当x=6 2时，等号成立，
所以△ADP面积的最大值为108−72 2．
18.(1)解：由题意知，方程ax2−(a+3)x+3=0的两根分别为x1，x2，
则x1+x2=a+3a=1+3a，x1x2=3a，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(1+3a)2−6a=1+9a2，
因为a= 3，所以x12+x22=1+9a2=4，
根据绝对值的几何意义，可得|x−1|+|m−x|≥|(x−1)−(x−m)|=|m−1|，
当且仅当(x−1)(m−x)≤0时，等号成立，
又因为存在x，使x12+x22≥|x−1|+|m−x|成立，可得|m−1|≤4，解得−3≤m≤5，
所以m的取值范围为[−3,5]．
(2)解：若a∈R，不等式ax2−(a+3)x+3≥0等价于(ax−3)(x−1)≥0，
①当a>3时，不等式的解集为{x|x≤3a或x≥1}，
②当a=0时，不等式的解集为{x|x≤1}；
③当0④当a=3时，不等式的解集为R；
⑤当a<0时，不等式的解集为{x|3a≤x≤1}；
19.解：(1)同学甲结果错误，同学乙结果正确．
甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件分别为n=2m，m=2n，
又m+2n=3，所以不能同时取等号，
即最小值83是取不到的；
(2)已知m>0，n>0，且m+2n=3，可得2n+(m+1)=4，
所以14[(m+1)+2n]=1，
(i)B=m2m+1+2n2+2n=(m+1)2−2(m+1)+1m+1+2n2+2n
=m+1−2+1m+1+2n+2n=2+1m+1+2n
=2+14[(m+1)+2n](1m+1+2n)=2+14×[1+2(m+1)n+2nm+1+4]
≥2+14×(5+4)=174，
当且仅当2(m+1)n=2nm+1，即n=m+1，
即m=13，n=43时等号成立，
即B的最小值为174；
(ii)m+2n=3，可得8n+4m=12，即(5n+m)+(3n+3m)=12，即112[(5n+m)+3(n+m)]=1，
所以C=2m+5n+1m+n=112[(m+5n)+3(m+n)]⋅(2m+5n+1m+n)
=112×[2+m+5nm+n+6(m+n)m+5n+3]≥112×(5+2 6)=512+ 66，
当且仅当m+5n= 6(m+n)，即m=21−8 6，n=4 6−9时等号成立，
即C的最小值为512+ 66．
1.已知集合A=N，集合B={x|−3
2.设a，b∈R，则“a<1且b<1”是“a+b<2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.如果实数集R的子集X满足任意开区间(a,b)(其中a
C. 任意开区间都含有X的补集中的点D. 存在开区闻含有X的补集中的点
4.《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如图形：AB是半圆O的直径，点D在半圆周上，CD⊥AB于点C，设AC=a，BC=b，直接通过比较线段OD与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为( )
A. b+ma+m>ba(b>a>0,m>0)B. a2+b2≥ 22(a+b)(a>0,b>0)
C. 2aba+b≤ ab(a>0,b>0)D. a+b2≥ ab(a>0,b>0)
5.一群学生参加数学、物理学科夏令营，每名学生至少参加一个学科考试.已知有52名学生参加了数学考试，47名学生参加了物理考试，学生总人数是只参加一门考试的学生人数的2倍，则这一群学生总人数为( )
A. 66B. 87C. 99D. 前三个答案都不对
6.设有限集M所含元素的个数用card(M)表示，并规定card(⌀)=0.已知集合A，B满足A∪B={1,2,3,4,5,6}，A∩B=⌀，若card(A)∉A，card(B)∉B，则满足条件的所有不同集合A的个数为( )
A. 3B. 6C. 10D. 64
7.设y=(x−a)⋅ax−b−1，若y>0恒成立，则a2+b2的最小值是( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
8.若关于x的方程|x|x+4=kx2有4个不同的实数解，则k的取值范围为 ( )
A. (0,1)B. 14,1C. 14,+∞D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系正确的是( )
A. 12∈RB. |−3|∉NC. − 3∉QD. N∈Q
10.若a，b≠0，且a|c|>b|c|，则下列不等式一定成立的是( )
A. a>bB. 1a<1bC. |a|>bD. a|c|>b|c|
11.设a>0，b>0，a+b=ab，则( )
A. ab的最小值为4
B. a+4b的取值范围是[9,+∞)
C. (a+1)(b+1) ab的最小值为2 2
D. 若c>1，则(a+ba+25ab)⋅c+1c−1的最小值为15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若{1, a}⊆{1,2,a2}，则a= ______．
13.已知二次函数y=(ax−1)(x−a)，甲同学：y>0的解集为(−∞,a)∪(1a,+∞)；乙同学：y<0的解集为(−∞,a)∪(1a,+∞)；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是______．
14.定义maxM为数集M中最大的数，已知0
15.(本小题13分)
《九章算术》第八章“方程”问题九：今有五雀、六燕，集称之衡①，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处②，衡适平③.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的重量和为一斤.问燕、雀每只各重多少斤？①集称之衡：集中在一起用衡器称；②交而处：交换位置放；③衡适平：重量恰好相等．
(1)设每只雀重n斤，每只燕重m斤，请列方程组求解这个问题；
(2)在(1)的条件下，设集合A={x|−m≤x38≤n}，B={x|2p−1≤x≤p+1}，若B⫋A，求p的取值范围．
16.(本小题15分)
(1)证明： 6− 5<2− 3；
(2)已知a，b，c>0且abc=12，求证：ab2a3+1+bc2b3+1+ca2c3+1≥1．
17.(本小题15分)
设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交CD于点P．
(1)证明：△ADP的周长为定值；
(2)设AB=x，且记△ADP的面积为S(x).求当x为何值时，S(x)取得最大值，并求出最大值．
18.(本小题17分)
已知y=ax2−(a+3)x+3．
(1)当a= 3时，方程y=0的两根分别为x1，x2，若存在x，使x12+x22≥|x−1|+|m−x|成立，求m的取值范围；
(2)若a∈R，求不等式ax2−(a+3)x+3≥0的解集．
19.(本小题17分)
对于题目：已知m>0，n>0，且m+2n=3，求A=1m+2n的最小值.同学甲的解法：因为m>0，n>0，所以1m>0，2n>0，所以1m+2n≥2 2mn，m+2n≥2 2mn，A=1m+2n=13(m+2n)(1m+2n)≥13×2 2mn×2 2mn=83，所以A的最小值为83.同学乙的解法：因为m>0，n>0，所以A=1m+2n=13(m+2n)(1m+2n)=13(1+2nm+2mn+4)≥13×(5+4)=3，当且仅当2nm=2mn，即m=n=1时等号成立，所以A的最小值为3．
(1)请对两位同学计算结果的正确性作出评价(需指明错误原因)；
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决：已知m>0，n>0，且m+2n=3．
(i)求B=m2m+1+2n2+2n的最小值；
(ii)求C=2m+5n+1m+n的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.A
6.C
7.B
8.C
9.AC
10.ACD
11.ABD
12.0
13.(−∞,−1]
14.27
15.解：(1)根据题意，可列方程组为4n+m=5m+n5n+6m=1，
解得m=338n=219，
所以每只燕重338斤，每只雀重219斤；
(2)由(1)可得集合A={x|−3≤x≤4}，
因为B⫋A，
①当B=⌀时，符合B⫋A，
则p+1<2p−1，
解得p>2，
②当B≠⌀时，即p≤2且2p−1≥−3p+1≤4，且等号不同时成立，
解得−1≤p≤2，
综上所述，p的取值范围是[−1,+∞)．
16.证明：(1)(反证法)：
假设 6− 5≥2− 3，
即 6+ 3≥2+ 5，
两边平方得9+6 2≥9+4 5，即3 2≥2 5，
即18≥20，这与18<20矛盾，因此假设不成立，
故 6− 5<2− 3．
法二(分析法)：
要证2− 3> 6− 5，
只需证2+ 5> 6+ 3，
只需证(2+ 5)2>( 6+ 3)2，
即证9+4 5>9+6 2，即证20>18，
因为20>18成立，
所以2− 3> 6− 5成立．
法三(综合法)：
6− 5=6−5 6+ 5=1 6+ 5，
2− 3=4−32+ 3=12+ 3，
因为 6+ 5>2+ 3>0，
所以1 6+ 5<12+ 3，
所以 6− 5<2− 3．
(2)由题意知a>0，b>0，c>0，
所以a2+b2≥2ab>0，a2+c2≥2ac>0，b2+c2≥2bc>0，当且仅当a=b=c时，上述三个等号同时取得，
故ab2a3+1+bc2b3+1+ca2c3+1
=ab2a3+2abc+bc2b3+2abc+ca2c3+2abc
=b2a2+2bc+c2b2+2ac+a2c2+2ab≥b2a2+b2+c2+c2a2+b2+c2+a2a2+b2+c2=1．
17.证明：(1)由题意可知，∠APD=∠BPC，∠ADP=∠PBC，AD=BC，
所以△ADP≌△PBC，所以AP=PC，
所以AD+DP+PA=AD+DP+PC=AD+DC=12，
所以△ADP的周长为定值；
解：(2)在Rt△ADP中，因为AD2+DP2=PA2，
所以(12−x)2+DP2=(x−DP)2，解得DP=12−72x，
所以S(x)=12AD⋅DP=12(12−x)(12−72x)=6(18−72x−x)，
因为AB>BC，所以6
所以△ADP面积的最大值为108−72 2．
18.(1)解：由题意知，方程ax2−(a+3)x+3=0的两根分别为x1，x2，
则x1+x2=a+3a=1+3a，x1x2=3a，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(1+3a)2−6a=1+9a2，
因为a= 3，所以x12+x22=1+9a2=4，
根据绝对值的几何意义，可得|x−1|+|m−x|≥|(x−1)−(x−m)|=|m−1|，
当且仅当(x−1)(m−x)≤0时，等号成立，
又因为存在x，使x12+x22≥|x−1|+|m−x|成立，可得|m−1|≤4，解得−3≤m≤5，
所以m的取值范围为[−3,5]．
(2)解：若a∈R，不等式ax2−(a+3)x+3≥0等价于(ax−3)(x−1)≥0，
①当a>3时，不等式的解集为{x|x≤3a或x≥1}，
②当a=0时，不等式的解集为{x|x≤1}；
③当0
⑤当a<0时，不等式的解集为{x|3a≤x≤1}；
19.解：(1)同学甲结果错误，同学乙结果正确．
甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件分别为n=2m，m=2n，
又m+2n=3，所以不能同时取等号，
即最小值83是取不到的；
(2)已知m>0，n>0，且m+2n=3，可得2n+(m+1)=4，
所以14[(m+1)+2n]=1，
(i)B=m2m+1+2n2+2n=(m+1)2−2(m+1)+1m+1+2n2+2n
=m+1−2+1m+1+2n+2n=2+1m+1+2n
=2+14[(m+1)+2n](1m+1+2n)=2+14×[1+2(m+1)n+2nm+1+4]
≥2+14×(5+4)=174，
当且仅当2(m+1)n=2nm+1，即n=m+1，
即m=13，n=43时等号成立，
即B的最小值为174；
(ii)m+2n=3，可得8n+4m=12，即(5n+m)+(3n+3m)=12，即112[(5n+m)+3(n+m)]=1，
所以C=2m+5n+1m+n=112[(m+5n)+3(m+n)]⋅(2m+5n+1m+n)
=112×[2+m+5nm+n+6(m+n)m+5n+3]≥112×(5+2 6)=512+ 66，
当且仅当m+5n= 6(m+n)，即m=21−8 6，n=4 6−9时等号成立，
即C的最小值为512+ 66．
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