2024-2025学年河北省衡水市高三（上）第二次调研数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省衡水市高三（上）第二次调研数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}满足an+1=2−1an，则a1=−1，则a4=( )
A. 3B. 53C. 75D. 15
2.已知α是第四象限角且sinα=−35,2sinβ−csβ=0，则tan(α−β)的值为( )
A. 1B. −1C. −2D. 211
3.函数f(x)=x15的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
4.如图，平行四边形ABCD中，AE=2EB，DF=FC，若CB=m，CE=n，则AF=( )
A. 12m+32n
B. 32m−12n
C. −12m+32n
D. 12m−32n
5.已知等差数列{an}的公差小于0，前n项和为Sn，若a2=a7+13a7−1，S8=44，则Sn的最大值为( )
A. 45B. 52C. 60D. 90
6.设△ABC内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知S△ABC=2sinAsinBsinC，若△ABC的周长为1.则sinA+sinB+sinC=( )
A. 1B. 12C. 34D. 2
7.设函数f(x)=0,x=34π+kπω−tan(ωx−π4),x≠34π+kπω(ω>0,k∈Z)，若函数f(x)在区间(−π8,3π8)上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为( )
A. (23,2]B. (0,23]C. [23,103]D. (0,2]
8.已知f(x)=ex−1−e1−x2−ax,x≤1x+3 x+1,x>1，(a∈R)在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A. [−2,1]B. [−2,−1]C. (−∞,1]D. [−2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下正确的选项是( )
A. 若a>b，cb−dB. 若a>b，cbd
C. 若ac2>bc2，则a3>b3D. 若a>b，m>0，则b+ma+m>ba
10.设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项正确的是( )
A. S9=S4+q4S5
B. 若T2025=T2020，则a2023=1
C. 若a1a9=4，则当a42+a62取得最小值时，a1= 2
D. 若(an+1)n>Tn2，则a1x−1x+2
B. 当x∈(1,+∞)时，ex+lnx>x−1x+2
C. 当x∈(0,π2)时，exsinx>x
D. 当x∈(π2,π)时，exsinx>x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量|a|=2 2，|b|=2，a⋅b=4，λ∈R，则|2a+λb|的最小值为______．
13.已知函数f(x)=sin(π−ωx)csωx− 3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间[−2024π,2024π]上所有零点之和为______．
14.若定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：对任意的x，y∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有：f(xy)=f(x)+f(1y)，当x，y>0时，还满足：(x−y)(f(1x)−f(1y))>0，则不等式f(x)≤|x|−1的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ex(x2−x+1)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)≤a在[−2,1]上恒成立，求最小的整数a．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=13，an+1=an−8,n为奇数3an,n为偶数．
(1)证明：数列{a2n−1−12}为等比数列；
(2)若S2n+1=16n+1469，求n的值．
17.(本小题15分)
凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如x2，ex等.记f″(x)为y=f′(x)的导数.现有如下定理：在区间I上f(x)为凸函数的充要条件为f″(x)≥0(x∈I)．
(1)证明：函数f(x)=1x3−x为(1,+∞)上的凸函数；
(2)已知函数g(x)=ax2−2xlnx−lnx(a∈R)．
①若g(x)为[1,+∞)上的凸函数，求a的最小值；
②在①的条件下，当a取最小值时，证明：g(x)+2x≥3x−1(3x−2)(3x+1)+2，在[1,+∞)上恒成立．
18.(本小题17分)
如图，在平面直角坐标系中，质点A与B沿单位圆周运动，点A与B初始位置如图所示，A点坐标为(1,0)，∠AOB=π4，现质点A与B分别以π4rad/s，π12rad/s的速度运动，点A逆时针运动，点B顺时针运动，问：
(1)1s后，扇形AOB的面积及sin∠AOB的值．
(2)质点A与质点B的每一次相遇的位置记为点Pn，连接一系列点P1，P2，P3…构成一个封闭多边形，求该多边形的面积．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−mx，g(x)= x2+1，则：
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x≥0时，f(x)≥g(x)恒成立，求m的取值范围；
(3)当x≥0时，若f(x)−ng(x)的最小值是0，求m+5 2n的最大值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.A
8.A
9.AC
10.AB
11.ABC
12.4
13.−101203π
14.(−∞,−1]∪[1,+∞)
15.解：(1)∵f(x)=ex(x2−x+1)，
∴f′(x)=ex(x2+x)=x(x+1)ex，
由f′(x)>0，得到x0；由f′(x)0时，令f′(x)=0，解得x=lnm，
当x0，函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增．
综上可得：当m≤0时，f(x)在R上单调递增；
若m>0时，f(x)在(−∞,lnm)上单调递减，在(lnm,+∞)上单调递增．
(2)令函数ℎ(x)=f(x)−g(x)=ex−mx− x2+1，可得ℎ′(x)=ex−m−x x2+1，
∵当x≥0时，f(x)≥g(x)恒成立，
∴ℎ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，
又∵ℎ(0)=0，要使得ℎ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，则ℎ′(x)≥0恒成立，
令φ(x)=ℎ′(x)=ex−m−x x2+1，
可得φ′(x)=ex+1(x2+1) x2+1>0，
即ℎ(x)在[0,+∞)上为单调递增函数，∴ℎ′(x)min=ℎ′(0)=1−m≥0，解得m≤1，
即实数m的取值范围为(−∞,1]．
(3)当x≥0时，若f(x)−ng(x)的最小值是0，
即m(x)=f(x)−ng(x)=ex−mx−n x2+1≥0在[0,+∞)上恒成立，
即ex−n x2+1≥mx在[0,+∞)上恒成立，
显然相切时取得等号，由函数y=ex−n x2+1，设切点坐标为(x0,ex0−n x02+1)，
可得y′=ex−nx x2+1，可得y′|x=x0=ex0−nx0 x2+1，
∴切线方程为y=(ex0−nx0 x2+1)(x−x0)−n x02+1，
即y=(ex0−nx0 x2+1)x+(1−x0)ex0−n x02+1+x02 x02+1，
∵切线过原点，则m=ex0−nx0 x2+1，0=(1−x0)ex0−n x02+1+x02 x02+1，
解得n=(1−x0) x02+1⋅ex0,m=ex0−(1−x0)ex0=(1−x0+x02)ex0，
∴m+5 2n
=(1−x0+x02+5 2⋅(1−x0) x02+1)⋅ex0，
令F(x)=(1−x+x2+5 2⋅(1−x) x2+1)⋅ex，其中x>0，
可得F′(x)=ex x2+1⋅x(1+x)( x2+1−5 2x)，
令F′(x)=0，解得x=17，
当x∈(0,17)时，F′(x)>0，F(x)单调递增；
当x∈(17,+∞)时，F′(x)n′(0)=1−30 249>0，∴m(x)为增函数，
∵m′(17)=0，
∴当x∈(0,17)时，m′(x)0，
∴m+5 2n≤7e17，当且仅当m=4349e17,n=32 249e17，等号成立，
即m+5 2n的最大值为7e17．