2025长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含解析

这是一份2025长沙长郡中学高二上学期期中考试数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了直线的倾斜角是等内容，欢迎下载使用。

命题人：彭泽华 审题人：饶金伟 审核人：陈家烦
得分：__________
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分.
第I卷
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ）
A.5 B. C. D.
3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
4.已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ）
A. B.14 C. D.
7.已知，从点射出的光线经轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A. B.6 C. D.
8.已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知两点到直线的距离相等，则的值可取（ ）
A. B. C. D.
10.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ）
A.
B.
C.双曲线的渐近线方程为
D.直线的斜率为4
11.已知椭圆，将绕原点沿逆时针方向旋转得到椭圆，将上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆，动点在上，且直线的斜率为，则（ ）
A.顺次连接的四个焦点构成一个正方形
B.的面积为的4倍
C.的方程为
D.线段的中点始终在直线上
第II卷
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.过点作直线，使它被直线和截得的线段被点平分，则直线的方程为__________.
13.直线与抛物线相交于两点，则__________.
14.设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则的离心率为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）将点和点并入点的轨迹得曲线，若过点的直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的方程.
16.（本小题满分15分）
如图，在棱长为的正方体中，分别是上的动点，且.
（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成夹角的正切值.
17.（本小题满分15分）
已知顶点为的抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点.
（1）若直线过点，且其倾斜角，求的取值范围；
（2）是否存在斜率为1的直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且.
（1）求证：直线平面；
（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，点为坐标原点，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设和分别与椭圆交于点和.若分别是线段和的中点，求面积的最大值.
长郡中学2024年下学期高二期中考试
数学参考答案
一､二､选择题
1.C 【解析】因为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选C.
2.A 【解析】由条件知点的坐标为，所以.故选A.
3.C 【解析】当椭圆焦点在轴上时，长半轴长，短半轴长，方程为，当椭圆焦点在轴上时，短半轴长，长半轴长，方程为，所以椭圆方程为或.故选C.
4.B 【解析】由条件可得或，故的取值范围为.故选B.
5.D 【解析】设点在底面内的投影为点，
由题意知，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
所以，，
所以.故选D.
6.B 【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，则，
的周长，
当且仅当在的延长线上时取等号.
的周长的最大值等于14.故选B.
7.C 【解析】直线的方程为，设点关于直线的对称点为，
则得，即，点关于轴的对称点为，
由题意可知，如图所示，点都在直线上，
由对称性可知，，
所以光线经过的路程.故选C.
8.A 【解析】设，则，整理得，
所以动点的轨迹方程是.故选A.
9.AC 【解析】当直线过线段中点时，有，得，
当直线时，有，得.故选AC.
10.BC 【解析】由，设，由，得，
则，而，
解得，因此，
对于A，，A错误；对于B，显然，则，B正确；
对于C，易知，在中，由，得，
则，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确；
对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误.故选BC.
11.ABD 【解析】椭圆的焦点为，将绕原点沿逆时针方向旋转
得到椭圆，则椭圆的焦点为，所以顺次连接的四个焦点构成一个正方形，故A正确；
将上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆，
所以与为相似曲线，相似比为2，所以的面积为的面积的倍，故B正确；
且的方程为，即，故C错误；
设，则，又，
所以，即，
所以，即，所以，
所以线段的中点始终在直线上，故D正确.故选ABD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 【解析】设直线与直线的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在直线上，代入直线的方程得，解得，即点在直线上，所以直线的方程为.
13.0 【解析】由可得，设，则有，所以，所以.
13. 【解析】由双曲线的渐近线方程为，即，
又由双曲线的右焦点到渐近线的距离为，所以，
则直角的内切圆的半径为，
如图所示，设的内切圆与切于点，则，
因为，可得，所以，
可得，所以双曲线的离心率为.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1）法一：设，因为，所以由，得，
所以动点轨迹方程为.
法二：由题，所以点的轨迹是以中点为圆心，半径为1的圆去掉两点得到的，
所以点的轨迹方程为.
（2）由题设知曲线的方程为，
因为直线与曲线有只有一个公共点（如图），
①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与曲线切于点，
②当直线斜率存在且与曲线相切时，设，即，
根据圆心到切线距离等于半径可得，得，
所以此时直线方程为.
综上，直线方程为或.
16.【解析】（1）如图，构建空间直角坐标系，令，且，所以，
则，故，
所以，即.
（2）由（1）可得三棱锥体积取最大，
即面积最大，
所以当时，，故分别为的中点，
所以，故，
若为平面的法向量，则令，得，
又平面的法向量为，所以，
设平面与平面所成夹角为，则，所以，
所以，所以平面与平面所成夹角的正切值为.
17.【解析】（1）由题可知，且直线的斜率不为0，设.
设直线的方程为，因此点到直线的距离为，
联立则，显然，所以，
则，所以，因为，则，
当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，
所以的取值范围为.
（2）设直线方程为，即，
联立得，故，即，
又，
易知，
因为，则，
因为，所以，即
，解得或，
故存在斜率为1的直线，使得，此时直线的方程为或.
18.【解析】（1）设，连接，
为底面圆的内接正三角形，为中点，
，
又.
，且.
平面平面，
平面平面平面.
（2）为中点，
又为中点，，
，
以为坐标原点，方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设.
设平面的法向量，
则令，解得，
设直线与平面所成夹角为，
，
令，则，
，
当，即时，，
，此时，
点到平面的距离.
19.【解析】（1）由题意，因为为直角三角形，所以.
又，所以，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立消去得，，
所以，即，且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
（3）由题意，，设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立消去得，所以，
所以，所以，
同理联立消去得，所以，
所以，所以，
所以的中点.
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
C
B
D
B
C
A
AC
BC
ABD