陕西省渭南市华州区咸林中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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（试卷共150分，时间为120分钟）
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1. 抛物线y2=6x的焦点到准线的距离是( )
A.1B.2 C.3 D.4
2. 已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于( )
A.12B.8+13 C.4D.13
3. 过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A.圆 B.椭圆C.直线D.抛物线
4. 直线x+y-1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长等于( )
A.2 B.2 C.22D.4
5. 已知直线l：x+y-3=0，椭圆x24+y2=1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A.相交B.相切 C.相离 D.相交或相切
6.AB是过抛物线C：y2=4x焦点的弦，且|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为( )
A. 3 B. 4 C.2D.1
7.已知圆C：x2+y2-10y+21=0与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A .52B.53 C.2D.5
8. 已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题为真命题的是( )
A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1
C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p
D.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c
10.椭圆x2m+y24=1的焦距是2，则m的值可以是( )
A.3B.4C.5D.不存在
11. 已知曲线C：mx2-ny2=1，下列说法正确的是( )
A.若mn>0，则C为双曲线
B.若m>0且m+n0，n0，n>0，则C为两条直线
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a-b|= .
13. 抛物线.x=ay2(a≠0)的焦点坐标为 准线方程为
14.已知椭圆x216+y24=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为
四.解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
已知两圆C1：(x＋5)2＋y2＝4，C2：(x－5)2＋y2＝4，动圆C与圆C1外切，且与圆C2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．
16. （15分）
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.
(1)求〈DD1，BC〉，〈D1C1，CA〉的大小；
(2)求向量AE在向量DC方向上的投影数量.
17.（15分）
已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±3x，且双曲线C过点(-2，3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx+3与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
18. （17分）
已知抛物线C：y2=2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程.
19. （17分）
已知动点P与平面上两定点A(-2，0)，B(2，0)连线的斜率的积为定值−12
试求：
①动点P的轨迹C的方程；
②是否存在过点(0，1)与①中曲线C相交所得弦长|MN|=423的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由。