上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)

这是一份上海市卢湾高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)，共5页。

填空、选择的答案以及解答题的解题过程请写在答题纸上，写在本试题纸上无效
一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）考生应在答题卷的相应位置直接填写结果，否则一律得零分．
1.“点在直线上”用集合符号语言可以表示为______.
2.已知正方体的棱长为1，则正方体的体对角线长为______.
3.掷一枚质地均匀的骰子，点数是3的倍数的概率为______.
4.若球表示面积之比，则它们的半径之比______.
5.空间中两个角和，若，则的大小是______
6.用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图为平行四边形，取AB所在直线为轴，AD所在直线为轴.若在直观图中，则______cm.
7.已知正方体棱长为2，则点到平面的距离为______.
8.如图，若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为______.
9.已知空间四边形两对角线的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是______．
10.等比数列的前项和为，若，则______.
11.从正六棱柱6个侧面上的12条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是______.
12.已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，且是上一动点，则周长的最小值为______.
二、选择题（本大题共有4题，每题4分.满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑，不选、错选或者选出的代号超过一个，一律得零分．
13.给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内所有直线”的（ ）条件．
（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充要（D）既不充分也不必要
14.集合正四棱柱直四棱柱长方体正方体，则这四个集合之间的关系是（ ）．
（A）（B）（C）（D）
15.如图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
（A）直线（B）直线（C）直线（D）直线AC
16.已知点P是正四棱锥的侧棱VA上异于点的一动点，则点在面VBC上的射影落在（ ）
（A）的外部（B）的内部（C）的一边上（D）以上皆有可能
三、解答题(本大题共5题，共48分)解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分8分，每小题4分）
班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单.
（1）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
（2）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法?
18．（本题满分8分，每小题4分）
设为等差数列的前n项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时，最大，并求出的最大值．
19.（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知圆锥的底面半径，经过轴SO的截面是等边三角形SAB，点为半圆弧AB的中点，点为母线SA的中点.
（1）求此圆锥的侧面积；
（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.
20.（本题满分10分，每小题5分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，E为PD中点.
（1）若F为PC的中点，判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由;
（2）若，求直线BE与平面PAD所成角的大小.
21．（本题满分12分，每小题4分）
如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点.
（1）求证：；
（2）若直线和平面所成的角为，求三棱锥的体积；
（3）设圆柱的外接球为球，求直线与球的两个交点间的距离.
22.附加题（本题满分10分，每小题5分）注：1、2、3、4班同学必做，其余班同学选做.
（1）已知正四棱台两底面边长分别为20和10，侧面积为780，则其体积为______．
（2）如图，在长方体中，，分别为的中点.点在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是______.
23.附加题（本题满分10分，每小题5分）注：1班同学必做，其余班同学选做.
（1）如图，在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，且.设是底面ABC内一点，定义，其中m、n、p分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为______.
（2）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐ABC的厚度，设，点在内部．假设对于任意点，满足的点Q都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为______.