江西省南昌市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份江西省南昌市第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题：万里松 审题：吴欢
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1、已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、下列各组函数表示相同函数的是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3、已知函数，则 （ ）
A．B．1C．D．
4、满足的集合的个数是（ ）
A．8B．7C．6D．5
5、命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
6、已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7、下列命题:①若，则②若，则
③若，则④若，则
其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8、已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9、如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（为常量），油面高度为，油面宽度为，储油量为（为变量），则下列说法：①是的函数
②是的函数 ③是的函数 ④是的函数
其中正确的有（ ）
A．① B. ② C. ③ D. ④
10、已知，且，则（ ）
A．的最小值是9 B．ab的最大值是8
C．的最小值是16 D．的最小值是4
11、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．的值域为
C．D．在上是增函数
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上）
12、不等式的解集为 .
13、函数的值域为
14、定义min{a,b}=a,a≤bb,a>b，若函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3}，且f(x)在区间上的值域为，则的最大值为__________
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本题满分13分）
记全集，已知集合，．
(1)若，求； (2)若，求的取值范围．
16.（本题满分15分）
已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2) 若在区间上单调，求实数的取值范围.
(3) 求不等式的解集；
17、（本题满分15分）
已知定义在上的函数满足：．
(1)求函数的表达式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
18、（本题满分17分）
已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证:在上是增函数；
(3)若，解关于的不等式.
19、（本题满分17分）
若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
(1)已知函数，函数，判断和hx是否为区间-1,0上的增长函数，并说明理由：
(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
(3)如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
南昌三中2024—2025学年度上学期期中考试
高一数学试卷
命题：万里松 审题：吴欢
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1、已知集合，，则（ A ）
A． B． C． D．
2、下列各组函数表示相同函数的是( D )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3、已知函数，则 （ C ）
A．B．1C．D．
4、满足的集合的个数是（ A ）
A．8B．7C．6D．5
5、命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ A ）
A．B．C．D．
6、已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（B ）
A．B．C．D．
7、下列命题:①若，则②若，则
③若，则④若，则
其中真命题的个数是（ A ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8、已知函数，且，则实数的取值范围是（ B ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9、如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为，截面半径为（为常量），油面高度为，油面宽度为，储油量为（为变量），则下列说法：①是的函数
②是的函数 ③是的函数 ④是的函数
其中正确的有（ AD ）
A．① B. ② C. ③ D. ④
10、已知，且，则（AD ）
A．的最小值是9 B．ab的最大值是8
C．的最小值是16 D．的最小值是4
【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则A正确.
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则B错误.
因为，当且仅当时，等号成立，而，当且仅当取等号，所以等号不能同时取到，所以，则C错误.
因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则D正确.
故选：AD
11、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．的值域为
C．D．在上是增函数
【答案】BCD
【分析】根据的定义，结合的解析式，作出函数图象，即可结合选项逐一进行判断即可．
【详解】因为，
画出的图象如下：
A选项，可以看出此函数不是偶函数，不关于轴对称，A错误；
B选项，正确
C选项，因为，
故，
，
因为，
所以，故，C正确；
D选项，正确
故选：BCD
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置上）
12、不等式的解集为 .
【详解】有已知得，，，,
即且，则不等式的解集为，
故答案为：.
13、函数的值域为 (－∞,1]
14、定义min{a,b}=a,a≤bb,a>b，若函数f(x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3}，且f(x)在区间上的值域为，则的最大值为____3_______
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本题满分13分）
记全集，已知集合，．
(1)若，求； (2)若，求的取值范围．
【详解】（1）由，得， ．
（2）依题意，或，
因为，所以解得，故的取值范围为-1,0．
16.（本题满分15分）
已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2) 若在区间上单调，求实数的取值范围.
(3) 求不等式的解集；
【详解】（1）由为幂函数，得，解得或，
时，为奇函数，舍去；时，为偶函数，符合题意，
所以.
（2）函数在上单调，则有，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17、（本题满分15分）
已知定义在上的函数满足：．
(1)求函数的表达式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）将的替换为得，
联立
解得
（2）不等式为，化简得，
要使其在上恒成立，则，
，
当且仅当取等，所以．
18、（本题满分17分）
已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证:在上是增函数；
(3)若，解关于的不等式.
【详解】（1）令，得.
（2）证明：在R上任取，则，所以.
又，
所以函数在R上是增函数.
（3）由，得，.
由得.
因为函数在R上是增函数，
所以，解得或.
故原不等式的解集为或.
19、（本题满分17分）
若函数的定义域为．集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
(1)已知函数，函数，判断和hx是否为区间-1,0上的增长函数，并说明理由：
(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值；
(3)如果的图像关于原点对称，当时，，且为R上的增长函数，求实数a的取值范围．
【详解】（1）是：因为，，；
不是，反例：当时，．
（2）由题意得，对于恒成立，
等价于，即对恒成立，
令，因为，所以是区间上单调递增的一次函数，
要保证对恒成立，则，
即， 解得，
所以满足题意的最小正整数为9．
（3）根据题意， 当时，，当时，，
因为的图像关于原点对称，所以可作出其函数图象，如下图所示：

所以，
若是R上的增长函数，则对任意的，都有，
因为是将向左平移四个单位得到，如下图所示，

所以，解得，
所以实数a的取值范围为.