2022年高考数学复习第八章圆锥曲线的方程理-专项训练-北师大版

这是一份2022年高考数学复习第八章圆锥曲线的方程理-专项训练-北师大版，共11页。试卷主要包含了已知F1，已知双曲线的左等内容，欢迎下载使用。
A、B、C、D、
M
x
y
N
F2
1、D
【思路分析】法一：F2 (c , 0)，M (0 ,c)
依MF2中点N ()在双曲线上，得=1
即=1=1.
注意到e >1，解得e =+1.
法二：连NF1，则| NF1| =c，| NF2| = c.
根据双曲线的第一定义，有| NF1| - | NF2| = 2a.
即c – c = 2a ∴e ==+1.
2．下列命题中假命题是（ ）
A．离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直
B．过点（1，1）且与直线x－2y+=0垂直的直线方程是2x + y－3=0
C．抛物线y2 = 2x的焦点到准线的距离为1
D．+=1的两条准线之间的距离为
2．解答：A：e = ，a = b，渐近线y = ±x 互相垂直，真命题。
B：设所求直线斜率为k，则k=－2，由点斜式得方程
为2x+y－3＝0 也为真命题
C：焦点F（，0）准线x = － d = 1真命题
D： a = 5 ，b = 3 ，c = 4 ，d = 2· 假命题，选D
评析：考察圆锥曲线的基本知识，考察熟练程度。
3.双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为该双曲线在第一象限的点，△PF1F2面积为1，且则该双曲线的方程为
A．B．
C．D．
3. A【思路分析】：设，则，

【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算
4、已知点为椭圆上且位于在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点到直线的距离不大于3，则实数的取值范围是( )
A.[-7 ，8] B.[，] C.[，] D.(，)∪[8 ，]
4、A ，设，则 ， ，
∴, ，
，得 .
5、在中，B(-2 ，0)，C(2 ，0)，A(x ，y)，给出满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来：(错一条连线得0分)
①△ABC周长为10
②△ABC面积为10
③△ABC中∠A=90°
④△ABC中AB=AC
(b) x2+y2=4 (y≠0)
(c) x=0 (y≠0)
(a) y2=25
(d)
①
②
③
④
(a)
(b)
(c)
(d)
5、
[ ① → (d) ，② → (a) ， ③ → (b)
④ → (c) ]
6．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最不值为 （ ）
A．5B．4C．（D）
C
【思路分析】：由于点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，所以过焦点F到直线x+2y+10=0的距离即是
【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想
7、已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 （ ）
A、 B、 C、 D、2
{
7、（分析：，由 （已知）
又
∴ 故选B项）
8．动圆C恒过定点(0，1)并总与y=-1相切，则此动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．y2=4xB．x2=4yC．y2=2xD．x2=2y
8．B [思路分析]：圆心到（0，1）的距离等于到y=-1的距离，则其轨迹为抛物线。
[命题分析]：考查圆的知识及抛物线定义和四种方程形式。
9．若、为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右准线上，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
9．C【思路分析】：由知四边形是平行四边形，又
知平分，即是菱形，设，则.
又，∴，由双曲线的第二定义知：,且，∴，故选.
【命题分析】：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性.
10.以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③到定直线和定点的距离之比为的点的轨迹是双曲线的左半支；
④方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的
10.④
11．P分的比是－x，B分的比是y，则p（x,y）所在的曲线是
（选填直线、抛物线、椭圆、双曲线）
A
B
P
·
·
·
11．解答：将AP分为x份，BP占1份，
∴y = 填双曲线
评析：考察定比分点概念与公式。难点是函数y = 的图象为双曲线。
M
B
C
P
Q
A
12．如图，B地在A地正东方向6km处，C地在
B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ
（曲线）上任一点到A的距离比到B的距离远
4km，现要在曲线PQ上选一处M，建一码头，
向BC两地转运货物，经测算，从M到B、M
到C修建公路费用分别是20万元/km、30万元/km，
那么修建这条路的总费用最低是
M
B
C
P
Q
A
y
x
12．解答：以AB为X轴，AB的中垂线为Y轴，建立平面直角坐标系。
则c=3，a=2，b=
曲线PQ的方程为 （x≥2）
点C（4，） 焦点B对应的
准线l：x =
由双曲线第二定义
∴30|MC|+20|MB|=30（|MC|+dm－l）
≥30（4－）
=80（万元） 填80（万元）
评析：用双曲线第一定义求方程，巧用第二定义将|MB|转化为 dm－l，
求出当且仅当MC∥AB时，dm－l+|MC|最短，使这条路造价最低。
13．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是.
13．【思路分析】：的准线是. ∴到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值为.
【命题分析】：考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法.
14．（本小题满分12分）
过点的直线与又曲线的下半支交于不同的两点、，
求直线斜率的取值范围；
过点与中点的直线在轴上的截距为，求的取值范围。
14． 解：（1）设直线斜率为，方程为，代入双曲线方程得
其方程两根都为负数

解之得 5分
(2)设中点，则
即
则直线的方程为： 化简得
7分
即，而在上为单调减函数

12分
15．（12分）已知圆A的圆心为(，0)，半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A'与点A关于直线y＝x对称．
⑴ 求双曲线C的方程；
⑵ 设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标．
15. ⑴ 设双曲线的渐近线为y＝kx，则，解得k＝±1．
即渐近线为y＝±x．
又点A关于y＝x的对称点A'的坐标为(0，)，
所以，a＝b＝，双曲线的方程为． …………4分
⑵ 直线l：y＝k(x－)，(0＜k＜1)．
依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为，设直线l'：y＝kx＋m，则
＝，即m2＋2km＝2 ① …………6分
把l'代入双曲线方程得：(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0
∵ 0＜k＜1，∴ k2－1≠0． ∴ △＝4(m2＋2k2－2)＝0，即m2＋2k2＝2 ②……8分
解①②，得m＝，k＝． ……10分
此时，x＝2，y＝，所以B(2，)． …………12分
16、（本题满分12分）已知：如图，双曲线，B是右焦点，F是左顶点，点A在轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C，在第一，第三象限的渐近线的垂线，垂足是。（1）求证：；（2）若与双曲线的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线的离心率的取值范围。
{
16、解：（1）证法一： 解得
∵成等比数列 ∴
∴，，
∴， ∴
证法二：同上得， ∴轴，
∴
{
（2） ∴
即
∵ ∴即 ∴
（本题主要考查圆锥曲线和向量知识的综合运用，将解析几何的问题与平面向量的问题有机地结合起来，进一步考查综合解题的年能力）
17．(本题满分12分)已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且
（1）求直线AB的方程；
（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
17、【思路分析】：（1）设直线AB：代入得
（＊）……………2’
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根
∴ 且 ……………………………3’
∵ ∴ N是AB的中点 ∴ ………4’
∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1 ……………6’
（2）将k = 1代入方程（＊）得 或 ……………7’
由得，
∴ ， ……………………………………………………8’
∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为
即代入双曲线方程整理得 ………9’
令，及CD中点
则，， ∴，
|CD| =，
，即A、B、C、D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆12分
18．（12分）设R，i，j为直角坐标系的单位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，|a|+|b|=8
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程
（2）过A（0，3）作直线L与曲线C交于A、B两点，若是否存在直线L使得OAPB为矩形，若存在，求出直线L的方程，若不存在，说明理由
18．解（1）∵a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8
∴动点M（x，y）是到定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和8
∴曲线C的轨迹方程为
（2）直线L过N（0，3），若L是y轴，则A，B是椭圆的顶点
∵=+=0，∴P与O重合与OAPB为矩形矛盾
∴直线L的斜率存在，设L：y=kx+3 A（x1，y1）B（x2，y2）
由得（4+3k2）x2+8kx－21=0
∵△=64k2+845（4+3k2）＞0恒成立
∴由韦达定理得x1+x2= x1·x2=
∵=+ ∴OAPB是平行四边形
若存在L，使它为矩形，则⊥ 即·=0 ∴x1·x2+y1·y2=0
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，∴（1+k2）·（－）+3k·（－）+9=0
k2= k=± 所求直线L的方程：y=±x+3
19．（14′）过曲线C：y=的焦点F作弦AB，
（1）求弦AB的中点P的轨迹方程；
（2）过点D（2，3）作曲线C的弦M1N1使D恰为M1N1的中点，求M1N1所在直线l1的方程
（3）按向量 =（n－1）(0，1)平移l1得ln，n=2，3，4，……
ln与曲线C交于Mn Nn，记|MnNn|=an，nN*
求的前n项和Sn及S160
19．解：（1）焦点F（0，1），设弦AB的斜率为K，则AB所在的直线方程为 y=kx+1 代入y=化简为x2－4kx－4=0
设P（x，y）则：x=
y=2K2+1
消去K得P点的轨迹方程为：
y= (x≠0且y≠1)
（2）设M1N1的坐标分别为（xM，yM）（xN，yN）
则
∴l1的方程为:x－y+1=0
即所求的l1的方程为x－y+1=0
(3)由（2）知l1：x－y+1=0
ln：x－y+n=0
将x－y+n=0代入y=，整理得：
x2－4x－4n=0
∴an=|MnNn|=
∴an=4
∴Sn=
=
S160=
=2
评析：考察考生求轨迹方程的能力，直线与曲线的位置关系，会用差分法求弦所在的直线方程，弦长公式，数列与弦长的转换，求和方法应用。
20[文]已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线的左、右焦点, 且sinC是sinA、sinB的等差中项.
（Ⅰ）求顶点C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）设P(-2,0), 过点作直线l交轨迹T于M、N两点，问∠MPN的大小是否为定值？证明你的结论.
20[文]、【思路分析】
(Ⅰ) 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC
∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4
∴点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x轴上两点）.
∴点C的轨迹T的方程是=1 (x≠±2) …………………………… 5分
(Ⅱ) 当l⊥x轴时，直线l的方程为x =，代入=1解得M、N的坐标为
（），而|PE| =，∴∠MPN = 90°，
猜测∠MPN= 90°为定值. …………………………… 7分
证明：x = my
3x2 + 4y2 = 12
设直线l的方程为my = x +，
由，得 (3m2 + 4) y2 my= 0
∴y1 + y2 =，y1 y2 = …………………………… 9分
∴= (x1 + 2 , y1)·(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2
= (my1 +) (my1 +) + y1 y2
= (m2 +1) y1 y2 +m (y1 + y2) +
=(m2 +1)+m+
= 0
∴∠MPN = 90°，为定值. …………………………… 13分
【命题分析】考查椭圆的定义，标准方程，几何性质等基础知识，以及解析几何基本思想和特殊化思想，考查考生的运算能力以及综合解题能力.
21、（13分）[理]已知△ABC的两顶点A、B分别是双曲线的左、右焦点, 且sinC是sinA、sinB的等差中项.
（Ⅰ）求顶点C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）设P(-2,0), M、N是轨迹T上不同两点，当PM⊥PN时，证明直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.
21[理]、【思路分析】
(Ⅰ) 由条件知A (-1 , 0 ) , B (1 , 0 )，且sinA + sinB = 2sinC
∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4
∴点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a = 4的椭圆（不包括x轴上两点）.
∴点C的轨迹T的方程是=1 (x≠±2) …………………………… 5分
(Ⅱ)解法一：设M (x1 , y1)、N (x2 , y2)，直线MN：x = my + b
由，得 (3m2 + 4) y2 + 6mby + 3b2 – 12 = 0
∴y1 + y2 =，y1y2 =
∵PM⊥PN，= (x1 +2 , y1)，= (x2 +2 , y2)
∴ ·= ( x1 + 2) (x2 + 2) + y1y2 = (my1 + b +2 ) (my2 + b + 2) + y1y2 = 0
整理，得(m2 + 1) y1y2 + m (b + 2) (y1 + y2) + (b + 2)2 = 0 ………………… 9分
∴ (m2 + 1)·+ m (b + 2)·() + (b + 2) 2 = 0
化简，得7b2 + 16b + 4 = 0
解得b = 或b = -2（舍去）
故直线MN：x = my过定点 (, 0 ) …………………………………… 13分
解法二：依题意，可设直线PM：y = k (x +2 )；PN：y = (x + 2)，其中k≠0
由，得(3 + 4k2) x2 + 16k2x + 16k2 – 12 = 0
这个方程的两根是-2和xM，
∴xM =， yM = k (xM +2) =
将xM、yM中的k换为，得xN =, yN = ……………… 8分
当yM≠yN即k≠±1时，kMN =
∴直线MN的方程为y – ，
即y = …………………12分
当yM = yN即k = ±1时，直线MN的方程为x =.
综上，直线MN过定点 (, 0). ………………………………… 13分
【命题分析】考查椭圆的定义，标准方程，几何性质等基础知识，以及解决直线与椭圆位置关系问题的基本方法，着重考查考生引参消参、运算能力以及综合解题能力.
22．椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。 （12′）
①求离心率e的取值范围；
②当离心率e最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。
22．[思路分析]：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①
①又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。
∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。
又∵0＜＜1，∵≤≤1。………………………………………………6′
（2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。
设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- (y+3)2
+2b2+18(-b≤y≤b)。若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，|HN|2有最大值b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0