2022年高考数学热点考点题型探析数列的通项的求法-专项训练-新人教版

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★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点 求数列的通项公式
题型1 利用公式法求通项
【例1】已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式：
⑴ ； ⑵.
【解题思路】已知关系式，可利用，这是求数列通项的一个重要公式.
【解析】⑴当时，，
当时，.
而时，，.
⑵当时，，
当时，.
而时，，.
【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：
若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
【例2】⑴已知数列中，，求数列的通项公式；
⑵已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.
【解题思路】⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
⑵已知关系式，可利用迭乘法.
【解析】⑴方法1：（迭加法）
，

方法2：（迭代法），
，.
⑵，，当时，
.
【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：
①
② .
题型3 构造等比数列求通项
【例3】已知数列中，，求数列的通项公式.
【解题思路】递推关系形如“”是一种常见题型，适当变形转化为等比数列.
【解析】，
是以为公比的等比数列，其首项为
【名师指引】递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：
①令；
② 在中令，；
③由得，.
【例4】已知数列中，，求数列的通项公式.
【解题思路】递推关系形如“” 适当变形转化为可求和的数列.
【解析】方法1：，，令
则 ，

方法2：，，令
则 ，转化为““ （解法略）
【名师指引】递推关系形如“”通过适当变形可转化为：
“”或“求解.
【例5】已知数列中，，求数列的通项公式.
【解题思路】递推关系形如“”可用待定系数法或特征根法求解.
【解析】令
由或，
数列是等比数列，
.
【名师指引】递推关系形如“”，通过适当变形转化为可求和的数列.
【新题导练】
1.已知为数列的前项和， ，求数列的通项公式.
【解析】当时，，
当时，.
是以为公比的等比数列，其首项为，
2.已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】由得，
.
3.⑴已知数列中，，求数列的通项公式；
⑵已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】⑴，；
⑵令，得
，，
4.已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】，，令
数列是等差数列，，.
5.（2008全国Ⅱ卷理节选）
设数列的前项和为，已知，设，
求数列的通项公式．
【解析】依题意，，即，
由此得，
6.(2008广东文节选)
已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】由 得
又，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，
．
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1.若数列的前项和（，且），则此数列是( )
等差数列 等比数列
等差数列或等比数列 既不是等差数列，也不是等比数列
【解析】C. ，
当时，，是等差数列；且时，是等比数列．选C.
2.数列中，，则数列的通项( )

【解析】 ,使用迭乘法，得
3.数列中，,且，则( )

【解析】 由，得，
，
4.设是首项为1的正项数列，且，
则数列的通项 .
【解析】
5.数列中，，则的通项 .
【解析】 由，得
6.数列中，，则的通项 .
【解析】 由，得
，
综合拔高训练
7.数列中，，求数列的通项公式.
【解析】，，.
数列是以2为公比的等比数列，其首项为
8.已知数列中，，求数列的通项公式.
【解析】，.
数列是以3为公比的等比数列，其首项为
，.
令，则 ，
，.