海南省2024-2025学年高三上学期学业水平诊断（一）数学试题

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一、未知
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．4B．C．-4D．
4．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（ ）
A．3B．2C．D．
5．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．-7B．-5C．-3D．-1
9．自然常数是数学中非常重要的一个常数，17世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示来自数学家欧拉（Euler）的名字.已知函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．，，
D．，，
10．已知，，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知实数，满足，则的最小值为 .
13．已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 .
14．记函数在区间上的最大值为，最小值为，则 .
15．已知函数的部分图象如图所示，点，
(1)求的解析式；
(2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值.
16．已知函数.
(1)求的图象在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积；
(2)设函数，若在定义域内单调递减，求实数的取值范围.
17．甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有5天晨跑路程超过.
(1)从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过的天数为，求的分布列和数学期望.
(2)用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过的天数比乙晨跑路程超过的天数恰好多2”为事件，求.
参考数据：.
18．已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点.
(1)求的方程；
(2)求点关于的对称点的轨迹方程；
(3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：.
19．记数列的前项和为，已知.
(1)证明：为等比数列；
(2)任意给定，求满足的数对的个数；
(3)若，证明：当时，.