2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（二）（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习（二）（含答案），共19页。
(2)若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．
(3)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点(不与A，B重合)，则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．
已知抛物线y=ax2﹣4a(a＞0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点M(m，n)为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时，是否存在点M使△APM的面积为eq \f(5,2)eq \r(3)？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．
已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＜0)的对称轴为x＝4，C为顶点，且A(2，0)，C(4，﹣2).
【问题背景】求出抛物线C的解析式．
【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．
①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．
②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．
【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E(﹣3，0)，H(﹣3，4)，现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A和B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m，n)(0＜m＜6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(3，0)、B(﹣1，0)，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为(0，﹣4)，求出此时△AFP面积的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；
(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MNMB时，求M点的坐标；
(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．
如图，已知直线y＝﹣eq \f(\r(3),3)x﹣3与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝eq \f(1,3)x2＋bx＋c的顶点是(2eq \r(3)，﹣1)，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作PG⊥AB于点G．
(1)求b、c的值；
(2)若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．
(3)当点P运动到何处时，线段PG的长最小？最小值为多少？
如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．
(1)若C(0，﹣3)，求抛物线的解析式；
(2)在(1)的条件下，E是线段BC上一动点，AE交抛物线于F点，求的最大值；
(3)如图2，点N为y轴上一点，AN、BN交抛物线于E、F两点，求的值．
如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式.
(2)在抛物线的对称轴直线x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标.
(3)设P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
\s 0 答案
解：(1)∵过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点C，且C(﹣1，0)，A(4，0)．
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋3x＋4，
令x＝0，得y＝4，
∴B(0，4)，
∵直线y＝kx＋n(k≠0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋4；
(2)如图，
∵A(4，0)．B(0，4)，
∴AB＝4eq \r(2)，
①当AB＝MB时，点M与点A(4，0)关于y轴对称，故M(﹣4，0)符合题意；
②当AB＝AM时，
AM＝AB＝4eq \r(2)，
∴M′(4﹣4eq \r(2)，0)、M″(4＋4eq \r(2)，0)．
综上所述，点M的坐标为(﹣4，0)或(4﹣4eq \r(2)，0)或(4＋4eq \r(2)，0)；
(3)存在，理由如下：设P(x，﹣x2＋3x＋4)(0＜x＜4)，
如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D(x，﹣x＋4)，
∴PD＝yP﹣yD＝(﹣x2＋3x＋4)﹣(﹣x＋4)＝﹣x2＋4x，
∴S△PAB＝eq \f(1,2)PD•OA＝eq \f(1,2)×4×[﹣x2＋4x]＝﹣2(x﹣2)2＋8，
∵﹣2＜0，
∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，
∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．
解：(1)如图1，令y=0代入y=ax2﹣4a，∴0=ax2﹣4a，
∵a＞0，∴x2﹣4=0，∴x=±2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)，∴AB=4，
过点P作PC⊥x轴于点C，∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，
∵PB=AB=4，
∴cs∠PBC=，∴BC=2，由勾股定理可求得：PC=2eq \r(3)，
∵OC=OC+BC=4，
∴P(4，2eq \r(3))，把P(4，2eq \r(3))代入y=ax2﹣4a，
∴2eq \r(3)=16a﹣4a，∴a=eq \f(1,6)eq \r(3)，
∴抛物线解析式为；y=eq \f(1,6)eq \r(3)x2﹣eq \f(2\r(3),3)；
(2)∵点M在抛物线上，
∴n=eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3)，∴M的坐标为(m，eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3))，
①当点M在曲线PB之间(含端点)移动时，∴2≤m≤4，
如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，
设直线AP的解析式为y=kx+b，
把A(﹣2，0)与P(4，2eq \r(3))代入y=kx+b，
得：，解得∴直线AP的解析式为：y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(2\r(3),3)，
令x=m代入y=eq \f(\r(3),3)x+eq \f(2\r(3),3)，∴y=eq \f(\r(3),3)m+eq \f(2\r(3),3)，
∴D的坐标为(m，eq \f(\r(3),3) m+eq \f(2\r(3),3))，
∴DM=(eq \f(\r(3),3)m+eq \f(2\r(3),3))﹣(eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣eq \f(2\r(3),3))=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2+eq \f(\r(3),3)m+eq \f(4\r(3),3)，
∴S△APM=eq \f(1,2)DM×AE+eq \f(1,2)DM×CE=eq \f(1,2)DM(AE+CE)=eq \f(1,2)DM×AC=﹣eq \f(\r(3),2)m2+eq \r(3)m+4eq \r(3)
当S△APM=eq \f(5,2)eq \r(3)时，∴eq \f(5,2)eq \r(3)=﹣eq \f(\r(3),2)m2+eq \r(3)m+4eq \r(3)，∴解得m=3或m=﹣1，
∵2≤m≤4，∴m=3，此时，M的坐标为(3，eq \f(5,6)eq \r(3))；
②当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，∴﹣2≤m≤2，n＜0，
当﹣2≤m≤0时，
∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2﹣m+eq \f(2\r(3),3)=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)(m+eq \r(3))2+eq \f(7,6)eq \r(3)，
当m=﹣eq \r(3)时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)，
此时，M的坐标为(﹣eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))，当0＜m≤2时，
∴|m|+|n|=m﹣n=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)m2+m+eq \f(2\r(3),3)=﹣eq \f(1,6)eq \r(3)(m﹣eq \r(3))2+eq \f(7,6)eq \r(3)，
当m=时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)，
此时，M的坐标为(eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))，
综上所述，当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，
M的坐标为(eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))或(﹣eq \r(3)，﹣eq \f(1,6)eq \r(3))时，|m|+|n|的最大值为eq \f(7,6)eq \r(3)．
解：【问题背景】
A(2，0)，对称轴为x＝4，则点B(6，0)，
则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，
将点C的坐标代入上式得：﹣2＝a(4﹣2)(4﹣6)，解得：a＝eq \f(1,2)，
故抛物线的表达式为：y=eq \f(1,2)x2-4x+6…①；
【尝试探索】①点C′(4，2)，由点B、C′的坐标可得，
直线BC′的表达式为：y＝﹣x＋6…②，
四边形MNDC′是平行四边形，则MN＝DC′＝2，
设点N的坐标为：(x，eq \f(1,2)k2﹣4k＋6)，则点M(k，﹣k＋6)，
即|eq \f(1,2)k2﹣4k＋6﹣(﹣k＋6)|＝2，解得：k＝3±eq \r(13)或3±eq \r(5)，
故k的值为：eq \r(13)+3或3-eq \r(13)或eq \r(5)+3或3-eq \r(5).
②联立①②并解得：x＝0或6，
故抛物线C与直线BC′围成的封闭图形对应的k值取值范围为：0≤k≤6，
MN＝(﹣k＋6)﹣(eq \f(1,2)k2﹣4k＋6)＝﹣eq \f(1,2)k2＋3k，
∵-eq \f(1,2)