重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题（含答案），文件包含重庆市2025届高三第三次质量检测数学试卷含解析docx、重庆南开中学高2025届高三第三次质量检测数学答案pdf、重庆南开中学高2025届高三第三次质量检测数学pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

注意事项：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
1. 复数 z=1+a1+ia∈R的实部和虚部相等，则a=
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2. 已知向量ā、b且 |a|=|b|=1,，若ā在b上的投影向量为 12b,则ā与b的夹角为
A.π/6 B.π/4 C.π/3 D.π2
3. 已知数列| an |的前n项和为. Sn , Sn =2ⁿ-λ,数列| bn |的通项公式为 bn , bn =1-λn, 则“| an |为等比数列”是“{ bn }是递减数列”的( )条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
4. 已知非零向量ā、b, 且 a⋅b=0,函数 fx=a-xb2x∈R,若、f(m)>f(1-m), 则实数m的取值范围是
A.m>12 B.m<12 C.m>-12 D.m<-12
5. 已知等比数列| an |单调递增，前n项和为 Sn ,a₄a₅=3,a₃+a₆=4,则 S6S3=
A.1 B.2 C.3 D.4
— 1 —6. 已知 a=ln23,b=sin23,c=e-13,则a，b，c的大小关系为
A. c>b>a B. c>a>b C. b>c>a D. a>b>c
7. 将正整数如图排列，第n行有n个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为a₁，再从a₁开始从右往下碰到5，记为a₂，接着从a₂开始，从左往下碰到8，记为a₁……依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为( a1,a2⋯an⋯,构成数列| an|.则 a₁₀=
A.59 B.60 C.61 D.62
8. 在 ▱ABCD 中, 点 E 是对角线 BD 上任意一点 (点 E 与 B,D 不重合) , 且 |AB|2=|AE|2+BE⋅ED,|AB|=AB⋅AD=2, 则▱ABCD的面积为
A. 3 B.2 C.22 D.23
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知两个复数z₁与z₂，下列结论错误的是
A.若 z₁+z₂∈R,则z₁与z₂互为共轭复数
B.若 |z₁|>|z₂|,则 z₁>z₂
C.若 |z₁|=1,|z₂|=2, 则 |z₁+z₂|=3
D.若 |z₁-i|=1,则 |z₁+1|的最大值为 2+1
10. 设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，则下列条件中能确定C为锐角的是
A.a²+b²-c²=ab B.ab=c²
C.(a+2b)csC+ccsA=0 D. sin(A-B)=1-2csAsinB
— 2 —11. 已知数列 aₙ满足 a1=1,an+1=2an+csnπ,n∈N*.则下列选项正确的是
A.a2n-1-13是等比数列
B.数列 | an |是单调递增数列
C.若 bn=1an, 则 b1+b3+b5+⋯+b2n-1<2
D.若 cn=-3n2+16n-163an+1, 则 c2+c4+c6+⋯+c2n=n24n-1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列 |aₙ||与| bn|的前n项和分别为 An与 Bₙ,若 AnBn=n+32n+1,则 a5b5=¯.
13. 若 fx=xlnx-ax²有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
14. 如图所示, 四边形ABCD内接于圆O, ADBC,AB=BC=6,BO=xBC+yBA,2x+6y=3则四边形ABCD的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.--
15. (13分)
已知向量 a=csxsinx,b=3sinxsinx,c=-13.
(1)若 ab,且 x∈0π2, 求x的值；
(2)设函数 fx=2b⋅a+c-|c|2,求函数f(x)在区间 0π2上的最大值以及相应的x的值.16. (15分)
新能源车性能测试，分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测通过后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入生产，这两个检测阶段能否通过相互独立.其中实验室检测阶段.包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环节都通过才能通过实验室检测，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发组研发出甲、乙丙三种车型、现对其进行性能检测，实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ.Ⅱ环节的概率分别为 13,23,，乙车通过I、Ⅱ环节的概率分别为 1223,丙车通过I、Ⅱ环节的概率分别为 23,34.路面测试环节中三款车通过测试的概率分别为 12,12,23.
(1)求甲、乙、丙三款车型中恰有一款车通过实验室检测的概率；
(2)记随机变量X为甲、乙、丙三种车型通过性能测试的种数，求X的分布列和数学期望.
17. (15分)
已知数列 | an |的前n项和为 Sn ，满足 2 S n ₊₁- S n =2,a₁=1.
(1)求 | an |的通项公式；
(2)若数列 |b n |⋅| c n |满足 bn=-2lg2an,cn=bn+2an,|cn|的前n项和为 T n ,若不等式 Tn -2≥λ cn 对一切正整数n恒成立，求λ的取值范围.


18. (17分)
如图所示， An xn yn , Bn xn - yn 是抛物线 y²=x上的一系列点，其中 A111,A225953,记直线 Bn ₋₁ An 、 Bn An ₊₁的斜率分别为
(1)证明 | yn ₊₁- yn |是等比数列，并求出数列 | yn |通项公式；
(2)记 △ An An ₊₁ An ₊₂的面积为 Tn ,求 Tn ,求 Tₙ;
(3)若 an=ln95Tn,bn+1=bn2+bn,;
(3)若 an=ln95Tn,bn+1=bn2+bn,b1=1.求证： 1b1-a1+22b2-a2+33b3-a3+⋯+nnbn-an<1.
注: △ABC中, 若 AB=x1y1,AC=x2y2,则 △ABC面积 SABC=12|x1y2-x2y1|.
重庆市高2025 届高三第三次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. B 【解析】复数 z=1+a2-a2i,因为实部和虚部相等，所以 1+a2=-a2,即a= -1.
2. C 【解析】设 =θ∈0π,由题意有 |a|csθb|b|=csθb=12b,∴csθ=12,∴θ=π3.
3. A 【解析】{ an}是等比数列,即λ=1,{bₙ}是递减数列,即λ>0,所以是充分不必要条件.
4. A 【解析 fx=a2+b2x2,是偶函数且开口向上， ∵fm>f1-m,∴|m|>|1-m|,∴m>12.
5. D 【解析】因为{ an}是等比数列,. ∴a₄a₅=a₃a₆=3,又 a₃+a₆=4,因{ an}是递增数列，则 a₃=1,a₆=3,所以 q³=3,所以 S6S3=1+q3=4.
6. A 【解析】 a=ln23<0,因为sinx≤x,所以 sin23<23,即 01-13=23,即 c>23,所以a7. C 【解析】由题意得 a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=5,⋯,所以 a₂ₙ-a₂ₙ₋₁=2n+1,a₂ₙ₊₁-a₂ₙ=2n+1.因此 a10=a1+a2-a1+a3-a2+⋯+a10-a9=61.
8. D 【解析】 AB2=AE2+BE⋅ED⇒AB2=AE2+BE⋅ED⇒AB-AEAB+EB+EB⋅ED3. AB+AE+ED=EB⋅AB+AD=0
即:AB=AD,所以▱ABCD 为菱形.由 AB=AB⋅AD=2可得角 A=60°,所以 SABCD=23.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. ABC 【解析】A 选项:若 z₁=1-i,z₂=i,z₁与z₂并不互为共轭复数；
B选项：虚数不能比较大小；
C 选项: |z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|,不一定能取等；
D 选项：设z₁在复平面对应的点为 Z₁，由 |z₁-i|=1可知点 Z₁的集合是以(0，1)为圆心，1为半径的圆. |z₁+1|表示点 Z₁到( - 1,0)的距离,所以 |z₁+1|最大值为 2+1.
数学试题参考答案 第1 页(共5页)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
B
C
A
A
D
A
C
D
ABC
AB
ACD
10. AB 【解析】A 选项: csC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,即 C=π3;
B选项:∵ c2=ab=a2+b2-2abcsC≥2ab1-csC,∴12≥1-csC,∴csC≥12∴C≤π3
C选项:∵(a+2b) cs C+ccsA=0,∴( sin A+2sinB) cs C+ sin CcsA=0,
∴sinA+C+2sinBcsC=0,∴1+2csC=0,∴C=2π3.
D选项:∵sin(A-B)=1-2cs Asin B,∴sin Acs B-cs Asin B=1-2cs Asin B,∴sin(A+B)=1, ∴C=π2.
11. ACD 【解析】A 选项: 1322n-1+1,易得 a2n=1322n-1,所以选项A正确；
B选项： a2=13C选项：n为奇数时， 1an=32n+1<32n,所以
D选项：n为偶数时， cn=-3n2+16n-163an+1=n2-n-222n=n22n-n-222n-2,
所以
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12.35
【解析】 a5b5=9a59b5=Λ9B9=9+329+1=35
13.0【解析 f'x=lnx+1-2ax=0有两个变号正根， ∴2a=lnx+1x,令 x=lnx+1xx0), ∴'x=-lnxx2,∴x∈01时 φ'x>0,∴x∈1+∞时 φ'x<0,,即φ(x)在(0,1)单调递增，在(1，+∞)单调递减.又 1e=0,1=1,x∈1+∞时 φx>0,所以( 0<2a<1,即 0数学试题参考答案 第2页(共5页) 14.162
【解析】在延长线上取点N，使BN=9，取AB 中点M，由 2x+6y=3知直线MN过圆心O,在Rt△MBC中,BN=9,BM=3,所以 csB=13,sinB=223,所以梯形ABCD高为 AB⋅sinB=42,AD=BC-2ABcsB=2,所以梯形 ABCD面积为 AD+BC2⋅42=162.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.(13分)
解： 1a//b,∴csx⋅sinx=3sin2x,∵x∈0π2,∴sinx≠0,∴csx=3sinx,∴tanx=33, ∴x=π6.· 6分
(2)由题意得.f(x) =2 3sinx( cs-1) +2sinx( 3+ sin x)-4=2 3sin xcs x+2sin²x-4 = 3sin2x+1-cs2x-4=2sin2x-π6-3,∴x∈0π2,∴2x-π6∈-π65π6,∴f(x)的最大值为--1，此时 x=π3. …………………………………………………………………… 13分
16.(15分)
解：(1)设事件A 表示甲车通过实验室测试，事件B 表示乙车通过实验室测试，事件C 表示丙车通过实验室测试，则 PA=13×23=29,PB=12×23=13,PC=23×34=12则甲、乙、丙中恰有一款车通过实验室测试的概率为 PABC+ABC+ABC
=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
…………… 7分
(2)随机变量X可能的取值为:X=0,1,2,3
PX=0=89×56×23=80162,PX=119×56×23+89×89×13= PX=2=19×16×23+19×56×13+89×16×13=15162,PX=3=19×13=1162,所以随机变量X 的分布列如下表
所以数学期望 EX=0×80162+1×66162+2×15162+3×1162=99162=1118. 15分
数学试题参考答案 第3页(共5页)x
0
1
2
3
P
⁸⁰/162
⁶⁶/162
1516
1162
17.(15分)
解：当n=1时, a₁=1符合， ∴an=12n-1n∈N*.
(2)由题意得 bn=-2lg212n-1=2n-1=2n-2,cn=2n-2+212n-1=n2n,5分
所以 Tn=1×2¹+1×2²+…+n×2",①,2Tn=1×2²+1×2³+…+(n-1)×2"+n×2"+¹,②,
②-①得 BTn=-1×21-22+⋯2n+n×2n+1=-2-221-2n-11-2+n2n+1=2+n-12n+1
∴Tn-2=n-12n+1≥λn2n,∴λ≤21-1n,∀n∈N*,∴λ≤0… 15分
18.(17分)
解： 1kBn-1An=yn-(--yn-1xn-xn-1=yn+yn-1yn2-yn-1,同理 kBnAn+1=1yn+1-yn,由 kBnAn+1=32kBn-1An得 yn+1-yn=23yn-yn-1,又 y2-y1=23,所以 yn+1-yn=23n,则 yₙ₊₁-yₙ是首项为 23,，公比为 23的等比数列，所以 yn=(yn-yn-1+yn-1-yn-2+y2-y1+y1=23n-1+23n-1 231+1=3-323n ………… 6分
(2)由(1)可得: AnAn+1=xn+1-xnyn+1-yn=yn+12-yn2yn-yn=623n-5232n23n令 t=23n∈023,则 AnAn+1=6t-5t2t,同理 AnAn+2=4t-209t223t,所以 SAnAn+1An+2=12|23ι6t-5t2-t4t-209t2||59t3,即 Tn=59233n.…………………… 12分
(3)所以 an=ln95Tn=3nln23,
则
所以
………… 17分
数学试题参考答案 第4页(共5页)