初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数当堂达标检测题，共61页。
【典例1】如图1，矩形OABC顶点B的坐标为(6,2)，定点D的坐标为(9,0)，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，P、Q两点同时运动，相遇时停止，在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当t=___________时，△PQR的边QR经过点B，当t=___________时，点R落在边BC上；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图2，过定点E(4,0)作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，直接写出t的值___________．
【思路点拨】
（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t即可，当R落在BC边上时，因为ΔPQR是等腰直角三角形，故PR=2AB，由此列出方程求解即可；
（2）在图形运动过程中分三种情况讨论，按t的取值范围分段写出关系式即可；
（3）首先判定四边形ABFE是正方形，其次通过旋转，由三角形全等证明MN=EN+BN，设EM=m，BN=n，在Rt△FMN中，有勾股定理得出m和n的关系式，由此等式列方程求出t的值即可．
【解题过程】
解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，
∴AB=AQ，
即2=9−6−t，
解得t=1，
∴t=1时，△PQR的边QR经过点B；
点R落在边BC上，则R纵坐标的长度和AB相同，
∵△PQR为等腰直角三角形，
∴PQ=2AB=2×2=4，
即9−t−2t=4，
解得t=53，
∴t=53时，点R落在边BC上；
故答案为：1，53；
（2）①当0≤t≤1时，如图1所示，
设PR交BC于点G，
过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=2，
∴S=S矩形OABC−S梯形OPGC=6×2−122t+2t+2×2=10−4t；
②当1S△OCDB．S△OEF=S△OCDC．S△OEF≤S△OCDD．S△OEF≥S△OCD
【思路点拨】
本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出S△OCD，设点E的坐标为m,12m+2，用关于m的二次函数关系式表示出S△OEF，求出二次函数的最值，即可判断S△OEF与S△OCD的大小关系．
【解题过程】
解：∵点C在线段AB上，横坐标为−2，
∴点C的纵坐标为12×−2+2=−1+2=1，
∴ OD=2，CD=1，
∴ S△OCD=12OD⋅CD=12×2×1=1；
设点E的坐标为m,12m+2，
则OF=m=−m，EF=12m+2，
∴ S△OEF=12OF⋅EF=12−m12m+2=−14m2−m=−14m+22+1，
∵ −14