2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲函数的概念及其表示(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲函数的概念及其表示(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。

9．（2024下·重庆·高三彭水苗族土家族自治县中学校校联考开学考试）已知函数=，下列结论不正确的是（ ）
A．定义域为 B．定义域为
C．定义域为 D．定义域为
10．（2024上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考阶段练习）数学上，高斯记号是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，.，已知函数，，（）则下列选项中正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．方程无实根D．方程仅有一个实根
三、填空题
11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）已知函数，则 .
12．（2024上·广东广州·高一统考期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是 ．
四、解答题
13．（2024上·山东枣庄·高一期末）已知函数．
(1)点在的图象上吗?
(2)当时，求的值；当时，求的值．
14．（2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
B能力提升
1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·福建泉州·高一统考期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024上·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）函数的定义域为全体实数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知函数的最小值为-1，则 .
6．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明．
(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
C综合素养
7．（2024上·北京西城·高一统考期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.
(1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，
①；②；
(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；
(3)若，求证：是的充分不必要条件.
第01讲 函数的概念及其表示 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.
【详解】由，
得，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
2．（2023上·陕西榆林·高一校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合函数有意义的条件计算即可得.
【详解】由题意可知，，解得且；
故该函数定义域为.
故选：B.
3．（2023上·全国·高一期末）函数的定义域为，若，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用赋值法求值即可.
【详解】因为，，
所以令，得，得，
所以令，得，得.
故选：C
4．（2023上·江苏常州·高一统考期中）已知函数，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故选：B
5．（2023·全国·高一假期作业）下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】D
【详解】函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A，与对应关系不同，故排除选项A；选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C．故选D．
6．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．8B．7C．2D．0.5
【答案】A
【分析】分类讨论结合指对互换求解的值即可.
【详解】当时，，所以若，则只能，
所以，所以满足题意.
故选：A.
7．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）已知函数，对，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据的解析式求出其值域，分类讨论求出的值域，结合两值域的关系可得答案.
【详解】因为
所以时，，时，，
综上.
当时，，，
由题意，，即，解得；
当时，，符合题意；
当时，，，
由题意，，即，解得；
综上可得.
故选：D.
8．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）若函数的值域为，则实数的可能值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先得到当时，，再分，和三种情况，结合函数值域得到方程，求出相应的实数的值，得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
若，当时，，当时，，
此时的值域为，不合题意；
若，则时，，，
由于，由题意需使；
若，则时，，
由于，故需使，
即实数的可能值共有2个.
故选：B．
二、多选题
9．（2024下·重庆·高三彭水苗族土家族自治县中学校校联考开学考试）已知函数=，下列结论不正确的是（ ）
A．定义域为 B．定义域为
C．定义域为 D．定义域为
【答案】ABD
【分析】根据函数的定义，求得的取值范围.
【详解】若函数有意义，需满足，即，则，即的定义域为；
故选：ABD
10．（2024上·安徽淮北·高一淮北市实验高级中学校考阶段练习）数学上，高斯记号是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分只研究小数部分，因而引入高斯记号.设，用表示不超过的最大整数.比如：，，.，已知函数，，（）则下列选项中正确的是（ ）
A．B．的值域为
C．方程无实根D．方程仅有一个实根
【答案】ACD
【分析】先进行分段化简函数，并画函数，图象，再结合图象逐项判断即可.
【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，

故，故A正确；
由图可知，的值域为，故B错误；
由高斯函数的定义可得：当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
绘制函数图象如图所示，

对于C，由选项A知，在上的值域为，
所以方程无实根，故C正确；
对于D，当时，即，解得，
当时，即，解得，
结合函数图象知，方程仅有一个实根，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2024上·广东肇庆·高一统考期末）已知函数，则 .
【答案】1
【分析】根据分段函数的性质及诱导公式计算即可.
【详解】由题意可知：，，
所以.
故答案为：1
12．（2024上·广东广州·高一统考期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】根据题意，当时，得到，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案.
【详解】由函数的函数值表示不超过x的最大整数，
当时，可得，则，
可得，
因为，可得，所以函数的值域是.
故答案为：.
四、解答题
13．（2024上·山东枣庄·高一期末）已知函数．
(1)点在的图象上吗?
(2)当时，求的值；当时，求的值．
【答案】(1)不在
(2)当时，；当时，.
【分析】（1）计算出的值，即可得出结论；
（2）代值计算可得出的值，解方程，可得出的值.
【详解】（1）解：因为，所以，点不在的图象上.
（2）解：当时，；
若，则，即，解得.
14．（2024上·江苏扬州·高一统考期末）已知函数的定义域为集合，函数的值域为.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出集合、，再求两个集合的并集；
（2）根据题意，确定两个集合的包含关系，然后求得取值范围.
【详解】（1）由题意得
所以，所以；
当时，在上单调增，则，
∴；
（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集.
当时，在上单调增，
则，所以，解得；
当时，，不符合题意；
当时，在上单调减，则，不符合题意；
综上，.
B能力提升
1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为对任意，同时恒大于0且恒不为1，分情况讨论求实数的取值范围即可.
【详解】的定义域为，
则对任意，同时恒大于0且恒不为1，
对于，若，则时，不满足题意；
若，则恒成立，
因为，要满足恒大于0且恒不为1，则，
所以的取值范围是．
故选:A．
2．（2024上·福建泉州·高一统考期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值；
又因为在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
结合题意可得，解得，
即实数的取值范围为，
故选：B
3．（2024上·天津滨海新·高一统考期末）若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由分段函数解析式，结合指数、二次函数的性质，讨论、研究有最小值情况下参数范围.
【详解】由在上递增，且值域为，
则，解得.
故答案为：2.
6．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第十一中学校考期末）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并证明．
(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定的函数解析式，利用奇函数、偶函数定义判断即得.
（2）探讨函数的单调性，并求出最小值，再借助一次型函数图象与性质列出不等式，求解即得.
【详解】（1）函数是奇函数，
当时，，则，
当时，，
当时，，则，
因此，恒有成立，
所以函数是奇函数.
（2）当时，单调递减，当时，单调递减，又，
因此函数在上单调递减，，
由对所有恒成立，得，即，
令，依题意，任意，，
于是，解得，
所以实数的取值范围是.
C综合素养
7．（2024上·北京西城·高一统考期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.
(1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，
①；②；
(2)若（）是集合中的元素，求的最小值；
(3)若，求证：是的充分不必要条件.
【答案】(1)答案见解析
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析；
（2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值；
（3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明.
【详解】（1）①不是.
当时，，
，
所以不是集合中的元素；
②是.
，，
所以是集合中的元素.
（2）当时，，，
，
因为，在上单调递减，
故成立，即；
若，令，，
，
因为，在上单调递减，
所以，因此，
综上所述，的最小值为1.
（3）充分性：因为，所以，，，进而，
同理，相加得，即，所以充分性满足；
必要性：设，，，
所以，此时，当时，，
所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足；
综上所述，是的充分不必要条件.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将和加起来，以此证明；证明必要性时，构造并分析的单调性是证明的关键.