2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲平面向量的概念及其线性运算(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第01讲平面向量的概念及其线性运算(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了给出下列四个条件，如图所示，O是正六边形的中心.等内容，欢迎下载使用。

C．D．，且方向相反
8．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A．1B．2C．4D．
二、多选题
9．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）以下关于向量的说法错误的有（ ）
A．若与同向，且，则；B．为实数，若，则与共线．
C．若且，则D．若与共线，与共线，则与共线
10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若与是共线向量，则三点共线
三、填空题
11．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
12．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
四、解答题
13．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
14．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
B能力提升
1．（23-24高一·全国·课后作业）在梯形中，，，中，分别是DA，BC的中点，且．设，，选择基底，试写出下列向量在此基底下的分解式：，，．
2．（23-24高二上·贵州黔南·开学考试）已知向量．
(1)求证：三点共线．
(2)若，求的值．
3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.

(1)用和表示；
(2)设，求的值；
(3)设，证明：.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高二上·北京·期中）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
第01讲 平面向量的概念及其线性运算(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，向量与的方向相反，然后即可得出正确的选项.
【详解】由得，所以向量与方向相反.
对于A：由得向量与的方向相同，故A错误；
对于B：由得向量与方向相反，故B正确；
对于C：由得，故C错误；
对于D：由得向量与的方向相同，故D错误.
故选：B.
2．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（ ）
A．B．C．D．不存在这样的向量
【答案】A
【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.
【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且，
所以等于，
故选：A
3．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，已知，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】由，得，即，
所以.
故选：A
4．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则k的值是（ ）
A．2B．－3C．－2D．3
【答案】A
【分析】借助平面向量共线定理与平面向量基本定理计算即可得.
【详解】，由三点共线，故存在实数，使，
即，即，解得.
故选：A.
5．（20-21高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，由于向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量可以自由平行移动，故D项正确.
故选：C.
6．（23-24高一下·北京·阶段练习）在梯形ABCD中，，，与相交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：由，故，故，
则，故B正确；
对C：由，故，
故C错误；
对D：，故D正确.
故选：C.
7．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知为非零向量，且，则一定有（ ）
A．B．，且方向相同
C．D．，且方向相反
【答案】B
【分析】
将已知等式两边平方，可得，利用数量积的定义可得，可知两向量同向.
【详解】因为，两边平方得
，
化简得，
即，
则，，
即方向相同，故只有B正确，
故选：B.
8．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ）

A．1B．2C．4D．
【答案】A
【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【详解】因为是的中点，且，
所以.
因为三点共线，所以，
即，所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一下·江西九江·阶段练习）以下关于向量的说法错误的有（ ）
A．若与同向，且，则；B．为实数，若，则与共线．
C．若且，则D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】ABD
【分析】根据向量的概念判断A，根据共线向量的性质判断BD，根据相等向量定义判断C.
【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误；
对于B，当时，对于任意的向量，，此时向量可能不共线，故B错误，
对于C，因为，所以，又，所以，故C正确，
对于D，当为零向量时，对于任意的向量都满足与共线，与共线，
此时与不一定共线，D错误，
故选：ABD.
10．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且
B．若，则
C．若，则存在实数，使得
D．若与是共线向量，则三点共线
【答案】ABC
【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及共线向量的概念与应用，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由的充要条件是且方向相同，所以A错误；
对于B中，当时，因为与任意向量共线，原式可能不成立，所以B错误；
对于C中，当时，不存在实数，使得，所以C错误；
对于D中，因为与是共线向量，且与有公共点，所以三点共线，所以D正确.
故选：ABC.
三、填空题
11．（21-22高一·全国·课后作业）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 .
【答案】①③④
【分析】
运用向量共线的定义判断即可.
【详解】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立；
由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立；
因为当与方向相反时，则，即③能够使成立；
因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立.
故使成立的条件是①③④.
故答案为：①③④.
12．（2024高一下·全国·专题练习）已知、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
【答案】
【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，
设，，则，
所以，，解得.
故答案为：.
四、解答题
13．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
【答案】(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
14．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）如图所示，在中，为边上一点，且.过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）.
(1)用，表示；
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）依题意可得，根据三点共线的推论得到，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】（1）在中，由，
又，所以，
所以
.
（2）因为，又，，
依题意，，所以，，
所以，又，，三点共线，且在线外，
所以有，
所以，
当且仅当，即时取等号.
B能力提升
1．（23-24高一·全国·课后作业）在梯形中，，，中，分别是DA，BC

(1)用和表示；
(2)设，求的值；
(3)设，证明：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论；
（2）由共线定理根据三点共线可得结果；
（3）根据向量等式得出的表达式，再由二次函数性质可证明结论.
【详解】（1）因为，
，
.
（2）由（1）得，
因为三点共线，所以，
解得.
（3）由（1）得，设，
则
又不共线，所以，即.
由，得.
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高二上·北京·期中）记所有非零向量构成的集合为，对于，定义，
(1)若，求出集合中的三个元素；
(2)若，其中，求证：一定存在实数，且，使得.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据集合新定义设，列式化简可得，即可得答案；
（2）先证明中向量都是共线向量，设，根据集合新定义推出，，可得，结合为共线向量，推得，即可证明结论.
【详解】（1）设，由得，
即，不妨令n取1，2，3，则m取3，6，9，
故中的三个元素为；
（2）先证明中向量都是共线向量，
不妨设，
因为，所以中至少有一个不为0，
若，记，
显然，即，故，
任取，因为，所以，
故，则，
故，则，则问题得证；
若，同理可证明，其中；
故综合上述中向量都是共线向量，
因为，所以不妨设，
则由定义知，即，同理，
故，则，
同理可得，故为共线向量，
即存在实数，使，即，
因为，所以，所以，
记，则，
即一定存在实数，且，使得.
【点睛】
难点点睛：本题考查了集合的新定义问题，解答时要注意理解新定义，并能根据该定义去解决问题，难点在于第二问的证明，解答时要首先证明中向量都是共线向量，然后推出，结合为共线向量，推得，即可证明结论.