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    2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

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    2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

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    这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析),共13页。试卷主要包含了多选题,填空题,解答题,单选题等内容,欢迎下载使用。
    9.(2024上·江西上饶·高一统考期末)下列式子中,使不等式成立的充分不必要条件可以是( )
    A.B.
    C.D.
    10.(2024上·湖北·高一校联考期末)设,不等式恒成立的充分不必要条件可以是( )
    A.B.C.D.
    三、填空题
    11.(2024上·云南昆明·高二统考期末)若是的一个充分不必要条件,请写出满足条件的一个为 .
    12.(2022·全国·高三专题练习)已知:函数的值恒为负,则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
    四、解答题
    13.(2024上·山东日照·高一统考期末)已知集合,.
    (1)若,求;
    (2)若“”是“”的充分条件,求的取值范围.
    14.(2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末)已知命题,不等式恒成立;命题,使成立.
    (1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
    (2)若命题中恰有一个为真命题,求实数的取值范围.
    B能力提升
    1.(2024上·河南·高一南阳中学校联考期末)“”是“不等式对任意的恒成立”的( )条件
    A.充分不必要B.必要不充分
    C.充分必要D.既不充分也不必要
    2.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)设,命题,命题,则是的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    3.(2022上·河南·高三专题练习)已知,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
    4.(2024上·湖北荆州·高一校联考期末)若命题为真命题,则m的取值范围为 .
    C综合素养
    5.(2023上·浙江·高一校联考阶段练习)设,若满足,则称比更接近.
    (1)设比更接近0,求的取值范围;
    (2)判断“”是“比更接近”的什么条件,并说明理由;
    (3)设且,试判断与哪一个更接近.
    6.(2023上·上海松江·高一校考期中)高一的珍珍阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义且,将称为“A与B的笛卡尔积”
    (1)若,,求和;
    (2)试证明:“”是“”的充要条件;
    (3)若集合是有限集,将集合的元素个数记为.已知,且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围,并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
    第02讲 常用逻辑用语 (分层精练)
    A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题)
    A夯实基础
    一、单选题
    1.(2024上·河北沧州·高一统考期末)已知命题,,则命题p的否定是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【分析】对带量词的命题的否定应该分别否定量词和结论即得.
    【详解】命题,的否定是,.
    故选:C.
    2.(2022·全国·模拟预测)荀子曰:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言,阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“至千里”是“积跬步”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】利用充分必要条件的定义求解.
    【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步,积跬步未必能至千里,故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件.
    故选:A.
    3.(2024上·山西长治·高一校联考期末)“”是“函数的定义域为”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件,然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
    【详解】由于函数的定义域为,则在上恒成立,
    故满足,解得,由成立得一定成立,
    反之成立时,不一定成立,
    所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
    故选:B
    4.(2024上·山东日照·高一统考期末)“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【分析】对化简,结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
    【详解】不等式可化为,即,即,解得,
    因为“”不能推出“”,“”能推出“”,
    所以“”是“”的必要不充分条件,
    故选:B.
    5.(2024上·新疆喀什·高一校考期末)“”是“等式”的( )
    A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分非必要条件
    【答案】A
    【分析】由题意,解得或,然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
    【详解】因为,即,解得或,
    所以能推出,不能推出,
    所以“”是“等式”的充分不必要条件,
    故选:A.
    6.(2024上·重庆·高一重庆一中校考期末)若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】根据条件,利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.
    【详解】因为“”是“”的必要不充分条件,
    所以,即,解得,
    故选:B.
    7.(2024上·广东江门·高一统考期末)已知命题,是假命题,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】由命题p的否定“,”为真命题,分离参数可得对恒成立,由基本不等式求出的最小值即可得出答案.
    【详解】解:由题意,命题p的否定“,”为真命题.
    即对恒成立,
    因为,,
    当且仅当,即时取等,
    所以.
    故选:C.
    8.(2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末)已知命题“对,都有恒成立”为真,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】令,则问题转化为在的最小值满足,再利用二次函数的性质解不等式即可求出.
    【详解】令,则问题转化为在上的最小值满足即可.
    当时,,最小值为,符合题意;
    当时,对称轴,函数在上单调递减,
    而适合题意;
    当时,对称轴,
    则,
    所以;
    综上的取值范围为.
    故选:A.
    二、多选题
    9.(2024上·江西上饶·高一统考期末)下列式子中,使不等式成立的充分不必要条件可以是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BD
    【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.
    【详解】由题意,
    对比选项可知,使不等式成立的充分不必要条件可以是或.
    故选:BD.
    10.(2024上·湖北·高一校联考期末)设,不等式恒成立的充分不必要条件可以是( )
    A.B.C.D.
    【答案】BC
    【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围,再结合充分不必要条件的定义即可.
    【详解】当时,不等式为,满足题意;
    当时,则必有且,解之得,
    综上a的取值范围为,显然及均为的真子集,
    即选项B,C满足条件.
    故选:BC
    三、填空题
    11.(2024上·云南昆明·高二统考期末)若是的一个充分不必要条件,请写出满足条件的一个为 .
    【答案】(答案不唯一)
    【分析】化简,写出一个范围比小的即可.
    【详解】由,解得或,故,
    因为是的一个充分不必要条件,
    写出一个范围比小的即可,
    故.
    故答案为:(答案不唯一)
    12.(2022·全国·高三专题练习)已知:函数的值恒为负,则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
    【答案】充分不必要
    【分析】判断命题之间的逻辑推理关系,即可得答案.
    【详解】由于函数,
    当时,,而,
    即此时函数的值恒为负;
    当时,函数的值也恒为负,
    故函数的值恒为负,推不出,
    故是的充分不必要条件,
    故答案为:充分不必要
    四、解答题
    13.(2024上·山东日照·高一统考期末)已知集合,.
    (1)若,求;
    (2)若“”是“”的充分条件,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)解不等式得到,再根据并集概念求出答案;
    (2)根据题意得到是的子集,从而得到不等关系,求出答案.
    【详解】(1)不等式的解集是,所以.
    当时,,故;
    (2)因为“”是“”的充分条件,所以是的子集,
    故,解得,即
    14.(2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末)已知命题,不等式恒成立;命题,使成立.
    (1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
    (2)若命题中恰有一个为真命题,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由在上恒成立可得即可.
    (2)由在上有解可得,即可得为真时的范围,再结合一真一假求解即可.
    【详解】(1)根据题意,命题,不等式恒成立,
    若命题为真命题,则,解得,
    故实数的取值范围为.
    (2)根据题意,命题,使成立,
    则,即,
    或,
    又命题中恰有一个为真命题,则命题一真一假,
    ①当真假时,,解得;
    ②当假真时,,解得.
    综上,实数的取值范围为.
    B能力提升
    1.(2024上·河南·高一南阳中学校联考期末)“”是“不等式对任意的恒成立”的( )条件
    A.充分不必要B.必要不充分
    C.充分必要D.既不充分也不必要
    【答案】A
    【分析】先根据不等式恒成立得出.比较,即可得出答案.
    【详解】当时,对任意的恒成立;
    当时,要使不等式对任意的恒成立,
    则应有,解得.
    综上所述,的取值范围为.
    显然“”包含的范围包含于“”包含的范围,
    所以,“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.
    故选:A.
    2.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)设,命题,命题,则是的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】由题意通过作差法得出命题的充要条件为,结合充分不必要条件的定义即可得解.
    【详解】由题意

    即命题的充要条件为,
    所以命题是命题的充分不必要条件.
    故选:A.
    3.(2022上·河南·高三专题练习)已知,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
    【答案】
    【分析】先对求解得,对化简得,再结合是的必要不充分条件,对进行分类讨论,即可求解.
    【详解】由,解得,所以,
    对于,即,
    若,解得,要使是的必要不充分条件,则,所以;
    若,解得,要使是的必要不充分条件,则,所以;
    若,则为,符合题意,所以实数的取值范围是.
    ①若,则,可得;
    又可得,所以;
    即可得,此时可以得出“比更接近”;
    ②若,则,可得;
    又可得,所以;
    即可得,此时可以得出“比更接近”;
    因此充分性成立
    必要性:由比更接近可得,即,
    若,此时,即必要性不成立;
    所以“”是“比更接近”的充分不必要条件;
    (3)当时,显然在上单调递减,
    所以,即;
    易知,
    所以,
    由对勾函数性质可知在上单调递增,
    所以,
    即可得,即;
    同理当时,由单调性可知,即;
    可知,
    又由对勾函数性质可知函数在上单调递减,在上单调递增;
    又,
    所以在时恒成立,即;
    综上可得满足,即更接近.
    【点睛】关键点点睛:本题关键在于理解新定义的概念,并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小,再由定义得出结论.
    6.(2023上·上海松江·高一校考期中)高一的珍珍阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义且,将称为“A与B的笛卡尔积”
    (1)若,,求和;
    (2)试证明:“”是“”的充要条件;
    (3)若集合是有限集,将集合的元素个数记为.已知,且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围,并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
    【答案】(1)答案见详解
    (2)证明见详解
    (3)答案见详解
    【分析】(1)根据的定义直接运算求解;
    (2)根据的定义结合充分必要条件分析证明;
    (3)设,则,,结合基本不等式求的取值范围,并结合根式分析求解.
    【详解】(1)由题意可得:,
    .
    (2)若,设,
    由定义可知:且,
    所以“”是“”的必要条件;
    若,对任意,均有,
    即对任意,均有,
    由任意性可知,则,
    所以“”是“”的充分条件;
    综上所述:“”是“”的充要条件.
    (3)设,
    则,,
    可得,
    当且仅当,即时,等号成立,
    所以实数的取值范围.
    若取到最大值,则,即,
    可得,即,
    所以.

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