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2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)
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这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲常用逻辑用语(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析),共13页。试卷主要包含了多选题,填空题,解答题,单选题等内容,欢迎下载使用。
9.(2024上·江西上饶·高一统考期末)下列式子中,使不等式成立的充分不必要条件可以是( )
A.B.
C.D.
10.(2024上·湖北·高一校联考期末)设,不等式恒成立的充分不必要条件可以是( )
A.B.C.D.
三、填空题
11.(2024上·云南昆明·高二统考期末)若是的一个充分不必要条件,请写出满足条件的一个为 .
12.(2022·全国·高三专题练习)已知:函数的值恒为负,则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
四、解答题
13.(2024上·山东日照·高一统考期末)已知集合,.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的充分条件,求的取值范围.
14.(2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末)已知命题,不等式恒成立;命题,使成立.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题中恰有一个为真命题,求实数的取值范围.
B能力提升
1.(2024上·河南·高一南阳中学校联考期末)“”是“不等式对任意的恒成立”的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
2.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)设,命题,命题,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.(2022上·河南·高三专题练习)已知,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
4.(2024上·湖北荆州·高一校联考期末)若命题为真命题,则m的取值范围为 .
C综合素养
5.(2023上·浙江·高一校联考阶段练习)设,若满足,则称比更接近.
(1)设比更接近0,求的取值范围;
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件,并说明理由;
(3)设且,试判断与哪一个更接近.
6.(2023上·上海松江·高一校考期中)高一的珍珍阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义且,将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若,,求和;
(2)试证明:“”是“”的充要条件;
(3)若集合是有限集,将集合的元素个数记为.已知,且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围,并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
第02讲 常用逻辑用语 (分层精练)
A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题)
A夯实基础
一、单选题
1.(2024上·河北沧州·高一统考期末)已知命题,,则命题p的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
【答案】C
【分析】对带量词的命题的否定应该分别否定量词和结论即得.
【详解】命题,的否定是,.
故选:C.
2.(2022·全国·模拟预测)荀子曰:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”这句来自先秦时期的名言,阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“至千里”是“积跬步”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分必要条件的定义求解.
【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步,积跬步未必能至千里,故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件.
故选:A.
3.(2024上·山西长治·高一校联考期末)“”是“函数的定义域为”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件,然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由于函数的定义域为,则在上恒成立,
故满足,解得,由成立得一定成立,
反之成立时,不一定成立,
所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.
故选:B
4.(2024上·山东日照·高一统考期末)“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对化简,结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】不等式可化为,即,即,解得,
因为“”不能推出“”,“”能推出“”,
所以“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
5.(2024上·新疆喀什·高一校考期末)“”是“等式”的( )
A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分非必要条件
【答案】A
【分析】由题意,解得或,然后根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为,即,解得或,
所以能推出,不能推出,
所以“”是“等式”的充分不必要条件,
故选:A.
6.(2024上·重庆·高一重庆一中校考期末)若“”是“”的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据条件,利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果.
【详解】因为“”是“”的必要不充分条件,
所以,即,解得,
故选:B.
7.(2024上·广东江门·高一统考期末)已知命题,是假命题,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由命题p的否定“,”为真命题,分离参数可得对恒成立,由基本不等式求出的最小值即可得出答案.
【详解】解:由题意,命题p的否定“,”为真命题.
即对恒成立,
因为,,
当且仅当,即时取等,
所以.
故选:C.
8.(2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末)已知命题“对,都有恒成立”为真,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】令,则问题转化为在的最小值满足,再利用二次函数的性质解不等式即可求出.
【详解】令,则问题转化为在上的最小值满足即可.
当时,,最小值为,符合题意;
当时,对称轴,函数在上单调递减,
而适合题意;
当时,对称轴,
则,
所以;
综上的取值范围为.
故选:A.
二、多选题
9.(2024上·江西上饶·高一统考期末)下列式子中,使不等式成立的充分不必要条件可以是( )
A.B.
C.D.
【答案】BD
【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意,
对比选项可知,使不等式成立的充分不必要条件可以是或.
故选:BD.
10.(2024上·湖北·高一校联考期末)设,不等式恒成立的充分不必要条件可以是( )
A.B.C.D.
【答案】BC
【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围,再结合充分不必要条件的定义即可.
【详解】当时,不等式为,满足题意;
当时,则必有且,解之得,
综上a的取值范围为,显然及均为的真子集,
即选项B,C满足条件.
故选:BC
三、填空题
11.(2024上·云南昆明·高二统考期末)若是的一个充分不必要条件,请写出满足条件的一个为 .
【答案】(答案不唯一)
【分析】化简,写出一个范围比小的即可.
【详解】由,解得或,故,
因为是的一个充分不必要条件,
写出一个范围比小的即可,
故.
故答案为:(答案不唯一)
12.(2022·全国·高三专题练习)已知:函数的值恒为负,则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【分析】判断命题之间的逻辑推理关系,即可得答案.
【详解】由于函数,
当时,,而,
即此时函数的值恒为负;
当时,函数的值也恒为负,
故函数的值恒为负,推不出,
故是的充分不必要条件,
故答案为:充分不必要
四、解答题
13.(2024上·山东日照·高一统考期末)已知集合,.
(1)若,求;
(2)若“”是“”的充分条件,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)解不等式得到,再根据并集概念求出答案;
(2)根据题意得到是的子集,从而得到不等关系,求出答案.
【详解】(1)不等式的解集是,所以.
当时,,故;
(2)因为“”是“”的充分条件,所以是的子集,
故,解得,即
14.(2024上·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末)已知命题,不等式恒成立;命题,使成立.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题中恰有一个为真命题,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由在上恒成立可得即可.
(2)由在上有解可得,即可得为真时的范围,再结合一真一假求解即可.
【详解】(1)根据题意,命题,不等式恒成立,
若命题为真命题,则,解得,
故实数的取值范围为.
(2)根据题意,命题,使成立,
则,即,
或,
又命题中恰有一个为真命题,则命题一真一假,
①当真假时,,解得;
②当假真时,,解得.
综上,实数的取值范围为.
B能力提升
1.(2024上·河南·高一南阳中学校联考期末)“”是“不等式对任意的恒成立”的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先根据不等式恒成立得出.比较,即可得出答案.
【详解】当时,对任意的恒成立;
当时,要使不等式对任意的恒成立,
则应有,解得.
综上所述,的取值范围为.
显然“”包含的范围包含于“”包含的范围,
所以,“”是“不等式对任意的恒成立”的充分不必要条件.
故选:A.
2.(2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)设,命题,命题,则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意通过作差法得出命题的充要条件为,结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】由题意
,
即命题的充要条件为,
所以命题是命题的充分不必要条件.
故选:A.
3.(2022上·河南·高三专题练习)已知,,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先对求解得,对化简得,再结合是的必要不充分条件,对进行分类讨论,即可求解.
【详解】由,解得,所以,
对于,即,
若,解得,要使是的必要不充分条件,则,所以;
若,解得,要使是的必要不充分条件,则,所以;
若,则为,符合题意,所以实数的取值范围是.
①若,则,可得;
又可得,所以;
即可得,此时可以得出“比更接近”;
②若,则,可得;
又可得,所以;
即可得,此时可以得出“比更接近”;
因此充分性成立
必要性:由比更接近可得,即,
若,此时,即必要性不成立;
所以“”是“比更接近”的充分不必要条件;
(3)当时,显然在上单调递减,
所以,即;
易知,
所以,
由对勾函数性质可知在上单调递增,
所以,
即可得,即;
同理当时,由单调性可知,即;
可知,
又由对勾函数性质可知函数在上单调递减,在上单调递增;
又,
所以在时恒成立,即;
综上可得满足,即更接近.
【点睛】关键点点睛:本题关键在于理解新定义的概念,并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小,再由定义得出结论.
6.(2023上·上海松江·高一校考期中)高一的珍珍阅读课外书籍时,发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义且,将称为“A与B的笛卡尔积”
(1)若,,求和;
(2)试证明:“”是“”的充要条件;
(3)若集合是有限集,将集合的元素个数记为.已知,且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围,并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件.
【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)答案见详解
【分析】(1)根据的定义直接运算求解;
(2)根据的定义结合充分必要条件分析证明;
(3)设,则,,结合基本不等式求的取值范围,并结合根式分析求解.
【详解】(1)由题意可得:,
.
(2)若,设,
由定义可知:且,
所以“”是“”的必要条件;
若,对任意,均有,
即对任意,均有,
由任意性可知,则,
所以“”是“”的充分条件;
综上所述:“”是“”的充要条件.
(3)设,
则,,
可得,
当且仅当,即时,等号成立,
所以实数的取值范围.
若取到最大值,则,即,
可得,即,
所以.
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