2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲等差数列及其前n项和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第02讲等差数列及其前n项和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共13页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题，单选题等内容，欢迎下载使用。
9．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．数列是递增数列
C．当n＝15时，取得最大值为225D．的最小值为1
10．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
三、填空题
11．（2025·宁夏·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为 .
12．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 .
四、解答题
13．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值.
B能力提升
1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（ ）
A．4045B．4046C．4035D．4034
3．（23-24高一下·天津）在数列中，，则数列的通项
4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)在数列中，去掉中的项，剩下的项按原来顺序构成数列，求的前40项和.
C综合素养（新定义解答题）
1．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.
第02讲 等差数列及其前n项和(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【知识点】利用等差数列的性质计算
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：D
2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．48B．42C．24D．21
【答案】B
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和
【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可求得.
【详解】因为等差数列，故，
则.
故选：B.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前项和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求等差数列前n项和
【分析】根据数列前项和的概念直接可得解.
【详解】设，则，，，
因此前项和，
故选：B.
4．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知公差为−2的等差数列是其前项和，且.若对任意都有，则的值为（ ）
A．6B．7C．6或7D．8
【答案】C
【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值
【分析】利用求出，进而求得an的，然后求出的最大值，以及对应的下标的值即可得解.
【详解】令等差数列an的公差，则，
所以，解得，
所以，
又，所以当或时，，
即或，，故对任意都有，的值为6或7.
故选：C
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，，则数列的前9项和等于（ ）
A．27B．C．45D．
【答案】A
【知识点】求等差数列前n项和
【分析】根据题意可知是等差数列，首项和公差知道，进而可以求前项和.
【详解】由题可得（常数）,
所以数列是以为首项，公差的等差数列,
所以
所以
故选：A.
6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列an满足，，则的值为（ ）
A．1000B．1013C．1011D．1012
【答案】D
【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列
【分析】由递推式变形知是等差数列，然后根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解】由，
得，
所以是等差数列，首项，公差，
所以，
所以.
故选：D.
7．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．32B．64
C．84D．108
【答案】C
【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和
【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】因为，
又，即，解得，
所以.
故选：C
8．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为.若成等差数列，且，则（ ）
A．12B．21C．32D．56
【答案】C
【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】设公差，利用等差中项概念得方程，解方程求出，继而利用等差数列求和公式计算即得.
【详解】因为数列an的公差为则，
因成等差数列，则有，
即，两边取平方整理得，
再两边取平方整理得，，
解得或（因，故舍去）.
故当时，.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ）
A．B．数列是递增数列
C．当n＝15时，取得最大值为225D．的最小值为1
【答案】ACD
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和
【分析】利用已知可求得，进而可得通项公式与前项和公式，再结合选项逐项判断即可.
【详解】因为，，所以，解得，，，
对于A．令n＝9，解得，故A正确；
对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误；
对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确；
对于D．，
令，，∴f（n）在时单调递增，∴f（n）的最小值为f（1）＝1，故D正确.
故选：ACD.
10．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
【答案】BCD
【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、错位相减法求和
【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和．
【详解】由，得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；
因为，
所以，显然递增，故B正确；
因为，
，
所以，
故，故C正确；
因为，
所以的前项和，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
11．（2025·宁夏·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为 .
【答案】21
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和
【分析】由题意可得，再由，可得，求解即可得答案.
【详解】解：设等差数列的公差为，
由，得，
得，由于，得，
由，
得，
即，
整理，得，
得，
解得，且，
则的最大值为21.
故答案为：21
12．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求等差数列前n项和的最值、根据等差数列前n项和的最值求参数
【分析】由题意可得，列出不等式组，即可求解．
【详解】由题意可得，，，即，解得，
故的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题
13．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值.
【答案】(1)；
(2)，最大值为16
【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值
【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）利用等差数列求和公式得到，配方求出最大值.
【详解】（1）设公差为，则，
解得，
故an的通项公式为；
（2），
由于，
故当时，取得最大值，最大值为.
B能力提升
1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、等差中项的应用
【分析】由实数构成公差为的等差数列，可得，构造函数，利用导数可得的最小值为，得，即可得到的取值范围.
【详解】因为实数构成公差为的等差数列，
所以，
所以，
构造函数，
当时，，此时单调递减，
则，可得；
若且，则，
当时，，
时上式成立，于是，上式对和同样成立，
故答案为：，．
4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)在数列中，去掉中的项，剩下的项按原来顺序构成数列，求的前40项和.
【答案】(1)，
(2)2756
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和
【分析】（1）设an的公差为，bn的公比为，，可求，由已知可求得，可求得，可求数列an，bn的通项公式；
（2）易求得去掉an的项，利用等差数列的前项和公式可求.
【详解】（1）设an的公差为，正项数列bn的公比为，
由，可得，
即，解得或（舍），所以，
由可得，即，解得，所以.
（2），，，.
记为an的前项和，则的前40项和
.
C综合素养（新定义解答题）
1．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.
【答案】(1)①不是，②是，理由见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【知识点】判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、数列新定义
【分析】（1）根据数列定义判断证明即可；
（2）分别应用定义结合数列的单调性证明即可
【详解】（1）①不是
中不是等差数列，①不是 “五彩的”；
②是
，
，
符合定义②是 “五彩的”.
（2）（i）对正整数n，设，，
其中d，为正整数，整数b，c满足，，
由于数列单调递增，则对于任意正整数n，，
即，
即，
同除以n并令n趋近正无穷得，即证.
（ii）对于正整数n，设，
由数列单调递增，知，
又因为，
故数列必然存在最大项A，最小项B，
下证即可，设正整数t使得，
一方面，由于数列以d为公差，
，
另一方面，，
从而，
又，
，
同理可得，即，即证.
【点睛】关键点点睛：根据数列的定义设通项及公差，结合数列的单调性及累加法证明.