2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学一轮复习讲义(新高考通用版)第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了已知，且，求的值；，已知，，且.等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，且，则 .
12．（2024高三·全国·专题练习）已知tan α＝－，cs β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，则α＋β＝ ．
四、解答题
13．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求的值.
14．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
B能力提升
1．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）如图所示，（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）若，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数在处取到最大值，则的值为 ．
5．（2024高一下·全国·专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逆用正切的和差公式，结合特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】.
故选：B.
2．（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正弦的差角公式即可化简求解.
【详解】,
故选：B
3．（22-23高一下·江苏苏州·期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
4．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
，利用两角和的正切公式求解.
【详解】已知，，
则.
故选：A
5．（23-24高一上·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】
设正方体边长为1，由图可得，
则且，
所以.
故选：B.
6．（2024·四川南充·二模）已知函数．设时，取得最大值．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式以及正弦的和差角公式可得答案.
【详解】，其中；
所以当时，，取得最大值，
由题意，即.
.
故选：C
7．（23-24高一下·四川资阳·阶段练习）已知都是锐角，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求．
【详解】、为锐角，
，
，
由于为锐角，.
故选：C
8．（21-22高三上·湖南株洲·期中）在平面直角坐标系中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边重合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得，，再利用两角和的余弦公式求解．
【详解】
由题意可得，，
由于，所以．
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）计算下列各式，结果为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】运用二倍角公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.
【详解】对于选项A，，故选项A错误；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D错误.
故选：BC.
10．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）下列化简结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
利用和（差）角公式计算可得.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：
，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
11．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，且，则 .
【答案】
【分析】根据题意利用两角和差公式分析求解.
【详解】因为，
由题意可得，即，
且，可知.
故答案为：.
12．（2024高三·全国·专题练习）已知tan α＝－，cs β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，则α＋β＝ ．
【答案】
【详解】
由cs β＝，β∈（0，），得sin β＝，tan β＝2，
所以tan （α＋β）＝＝＝1.
因为α∈（，π），β∈（0，），所以＜α＋β＜，
所以α＋β＝.
四、解答题
13．（23-24高一下·上海·阶段练习）（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）7；（2）
【分析】
（1）利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再由两角差的正切公式可得结果；
（2）根据与的关系式判断出，即可得结果.
【详解】（1），且，可得
所以
（2）由
两边平方可得：即，
所以，则，
因此
.
14．（2024高一下·上海·专题练习）已知，，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得；
（2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】（1）
因为，
所以
；
（2）
且，
，则，
，
，
，，且，解得（负值舍去），
，
又，，，
.
B能力提升
1．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）如图所示，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意求出的正弦值以及余弦值，根据两角差的余弦公式求得，再由二倍角余弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意知,
则，，
故
，
故，
故选：C
2．（2024·湖北·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.
【详解】由条件等式可知，，
值，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用两角和的余弦公式将函数化简得到其中，再由余弦函数的性质及两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，其中，
又函数在处取到最大值，
所以，
不妨令，则，
所以
.
故答案为：
5．（2024高一下·全国·专题练习）圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根呈南北方向的水平长尺（称为“圭”）和一根直立于圭面的标杆（称为“表”），如图．成语有云：“立竿见影”，《周髀算经》里记载的二十四节气就是通过圭表测量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太阳高度角分别为（）和（）．设表高为1米，则影差 米（参考数据：，）
【答案】2.232
【分析】
由正弦定理和三角函数得到，利用正弦和差公式得到，求出（米）.
【详解】
在中，（米）．
在中，由正弦定理，得，
即，
所以（米）．
因为，
且，
所以，所以（米）．
故答案为：
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.双曲函数的定义域是实数集，其自变量的值叫做双曲角，双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程.
(1)计算的值；
(2)类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；
(3)若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据新定义函数直接计算即可；
（2）类比可得，根据新函数定义计算即可证明；
（3）由可得，分离参数，求出，即可得解.
【详解】（1）由已知可得，，，
所以，
所以.
（2），证明如下：
左边，
右边
.
所以，左边=右边，
所以.
（3）原题可转化为方程有解，即有解.
令，，，
因为在上单调递增，，，
所以.
又，当且仅当，即时等号成立，
所以，即，即，
所以，即.